在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F（如圖1）． 將△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小記為θ（如圖2）．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面BCD；面AEF⊥面BAD；
（Ⅱ）當(dāng)cosθ為何值時(shí)，AB⊥CD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求FB與平面BAD所成角的正弦值．

……9分

   （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2

       即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分

   （文）

   （1）從口袋A中摸出的3個(gè)球?yàn)樽罴衙�球組合即為從口袋A中摸出2個(gè)紅球和一個(gè)黑球

       其概念為                                                     ……………………6分

   （2）由題意知：每個(gè)口袋中摸球?yàn)樽罴呀M合的概率相同，從5個(gè)口袋中摸球可以看成5

       次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故所求概率為………………………12分

19．解法一：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁

       所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建

       立空間直角坐標(biāo)系D―xyz，則

       A（a，0，0）、B（a，2a，0）、

       C（0，2a，0）、A₁（a，0，a）、

       D₁（0，0，a）。E、P分別是BC、A₁D₁

       的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD₁的中點(diǎn)

       ∴……………………………………2分

   （1）⊥面ADD₁A₁

       而=0，∴⊥，又∵M(jìn)N面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁；………4分

   （2）設(shè)面PAE的法向量為，又

       則又

       ∴=（4，1，2），又你ABCD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）

       ∴

       所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分

   （3）設(shè)為平面DEN的法向量⊥，⊥

       又=（），=（0，a，），（，0，a）

       ∴所以面DEN的一個(gè)法向量=（4，-1，2）

       ∵P點(diǎn)到平面DEN的距離為

       ∴

       所以                                              ……………………12分

       解法二：

   （1）證明：取CD的中點(diǎn)為K，連接

       ∵M(jìn)，N，K分別為AE，CD₁，CD的中點(diǎn)

       ∴MK∥AD，ND∥DD₁，∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁

       ∴面MNK∥面ADD₁A₁，∴MN∥面ADD₁A₁，                     ………………………4分

   （2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，∵P為A₁D₁的中點(diǎn)

       ∴PF∥DD₁，PF⊥面ABCD

       作FH⊥AE，交AE于H，連結(jié)PH，則由三垂

       線定理得AE⊥PH，從而∠PHF為二面角

       P―AE―D的平面角。

       在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，

       從而FH=

       在Rt△PFH中，tan∠PHF=

       故：二面角P―AE―D的大小為arctan

   （3）

       作DQ⊥CD₁，交CD₁于Q，

       由A₁D₁⊥面CDD₁C₁，得A₁D₁⊥DQ，∴DQ⊥面BCD₁A₁。

       在Rt△CDD₁中，

       ∴  ……………………12分

20．解：（理）

   （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+）

       當(dāng)a=-2e時(shí)，            ……………………2分

       當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下：

（0，）

（，+）

―

0

＋

ㄋ

極小值

ㄊ

       由上表可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）

       單調(diào)遞增區(qū)間為（，+）

       極小值是（）=0                                                           ……………………6分

   （2）由           ……………………7分

       又函數(shù)為[1，4]上單調(diào)減函數(shù)，

       則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。

       即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分

       又=在[1，4]上為減函數(shù)

       ∴的最小值為

       ∴                                                                            ……………………12分

   （文）（1）∵函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞

       減，

       ∴x=1時(shí)，取得極大值，

       ∴

       ∴4-12+2a=0a=4                                                                                      ………………………4分

   （2）A（x₀，f（x₀））關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2- x₀，f（x₀）

       =

       ∴A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)B也在函數(shù)的圖象上            …………………8分

   （3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程

       恰有3個(gè)不等實(shí)根，

       ∵x=0是其中一個(gè)根，

       ∴方程有兩個(gè)非零不等實(shí)根

                                       ……………………12分

21．解：（理）（1）由已知得：

       ∵                                                     ①…………………2分

       ∴                                                                 ②

       ②―①

       即

       又

       ∴                                                                      ……………………5分

       ∴{a_n}成等差數(shù)列，且d=1，又a₁=1，∴…………………6分

   （2）∵

       ∴

       ∴                   …………………8分

       兩式相減

       ∴                                                          ……………………10分

       ∴               ……………………12分

   （文）（1）由已知得：

       ∴

       ∵                                                     ①…………………2分

       ∴                                                                 ②

       ②―①

       即

       又

       ∴                                                                      ……………………5分

       ∴{a_n}成等差數(shù)列，且d=1，又a₁=1，∴…………………6分

   （2）∵

       ∴

       ∴                   …………………8分

       兩式相減

       ∴                                                          ……………………10分

       ∴               ……………………12分

22．解：（1）

       設(shè)M（x，y）是曲線C上任一點(diǎn)，因?yàn)镻M⊥x軸，

       所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，3y）                                                  …………………2分

       點(diǎn)P在橢圓，所以

       因此曲線C的方程是                                           …………………5分

   （2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件

       所以設(shè)直線l的方程為與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N點(diǎn)所在直線方

       程為

       ，由得

                                               ……………………6分

       由△=………………8分

       ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形              …………………9分

       假設(shè)存在矩形OANB，則

       所以

       即                                                                   ……………………11分

       設(shè)N（），由，得

       ，

       即N點(diǎn)在直線

       所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為 ……………………14分