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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線(xiàn)C₁：所圍成的封閉圖形的面積為，曲線(xiàn)C₁上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為．以曲線(xiàn)C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C₂．
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過(guò)橢圓C₂中心O的任意弦，l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)．M是l上的點(diǎn)（與O不重合）．
①若MO＝2OA，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
②若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

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如圖，為正方形所在平面外一點(diǎn)，且到正方形的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，

為中點(diǎn)．求證：（１）面；  （２）面面．

 

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說(shuō)明

    1. 本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同,可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.

    2. 評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌�的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱. 當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過(guò)后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.

    3. 第17題至第21題中右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù).

    4. 給分或扣分均以1分為單位.

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1．；   2．；   3．；   4．；   5．（理）元；（文）0.7；

6．（理）； （文）200赫茲；   7．（理）5；  （文）p=4．

8．（理）； （文）

9．；    10．（理）；  （文）方程為．

11．（理）；  （文）；    12．12．

13――16：A；  C ；  C；  理B文A

17．設(shè)熊貓居室的總面積為平方米，由題意得：．… 6分

解法1：，因?yàn)?sub>，而當(dāng)時(shí)，取得最大值75． 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

解法2：=75，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值75．                        …… 10分

所以當(dāng)熊貓居室的寬為5米時(shí)，它的面積最大，最大值為75平方米．      …… 12分

18．理：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、．                                  ……2分

設(shè)平面的法向量為，則，．

因?yàn)?sub>，，                          ……3分

，，

所以解得，取，得平面一個(gè)法向量，且．                                                     ……5分

（1）在平面取一點(diǎn)，可得，于是頂點(diǎn)到平面的距離，所以頂點(diǎn)到平面的距離為，         ……8分

（2）因?yàn)槠矫?sub>的一個(gè)法向量為，設(shè)與的夾角為a，則

，                                        ……12分

結(jié)合圖形可判斷得二面角是一個(gè)銳角，它的大小為．……14分

文：（1）圓錐底面積為 cm²，                                        ……1分

設(shè)圓錐高為cm，由體積，                               ……5分

由cm³得cm；                                         ……8分

（2）母線(xiàn)長(zhǎng)cm，                                             ……9分

設(shè)底面周長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積=，                          ……12分

所以該圓錐的側(cè)面積=cm²．                                     ……14分

19．（理）（1）；                                          ……3分

（2）當(dāng)時(shí)，（）

， ……6分

所以，（）．                                      ……8分

（3）與（2）同理可求得：，                       ……10分

設(shè)=，

則，（用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法），相減得

，所以

．                          ……14分

（文）（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，則．     ……3分

（2）公比，所以由無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和公式得：

數(shù)列各項(xiàng)的和為=1．                                     ……7分

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=

；                                           ……11分

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=．    ……14分

即．                   ……15分

20．（1）即，又，2分

所以，從而的取值范圍是．      ……5分

（2），令，則，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，8分

由解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；                                             ……11分

下面求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)．所以函數(shù)的最小值為．

[當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)的證明：任取，，因?yàn)?sub>，，所以，，由單調(diào)性的定義函數(shù)在上為減函數(shù)．]

于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值．                               ……15分

21．（1）由解得；由解得．

由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線(xiàn)的方程，，

所以直線(xiàn)AB的斜率為．                                   ……4分

（2）推廣的評(píng)分要求分三層

一層:點(diǎn)P到一般或斜率到一般,或拋物線(xiàn)到一般（3分，問(wèn)題1分、解答2分）

例：1．已知是拋物線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)相交于拋物線(xiàn)上的一定點(diǎn)P，求直線(xiàn)AB的斜率；

2．已知是拋物線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-k 1的直線(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)相交于拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)P（4，4），求直線(xiàn)AB的斜率；

3．已知是拋物線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為-1的直線(xiàn)，與過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)相交于拋物線(xiàn)上的一定點(diǎn)P，求直線(xiàn)AB的斜率； AB的斜率的值．

二層:兩個(gè)一般或推廣到其它曲線(xiàn)（4分，問(wèn)題與解答各占2分）

例：4．已知點(diǎn)R是拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線(xiàn)AB的斜率．

三層:滿(mǎn)分（對(duì)拋物線(xiàn)，橢圓，雙曲線(xiàn)或?qū)λ�有圓錐曲線(xiàn)成立的想法．）（7分，問(wèn)題3分、解答4分）

例如：5.已知拋物線(xiàn)上有一定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為、的兩條直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線(xiàn)AB的斜率．

過(guò)點(diǎn)P（），斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)可設(shè)為，，其中。

 由得，所以

同理，把上式中換成得，所以

當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為。

（3）（理）點(diǎn)，設(shè)，則．

設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)是，斜率為，則=．12分

所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，

又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，而，于是．                                                       ……13分

 (斜率，則--------------------------------13分)

線(xiàn)段所在直線(xiàn)的方程為，                  ……14分

代入，整理得               ……15分

，。設(shè)線(xiàn)段長(zhǎng)為，則

=

                               ……16分

因?yàn)?sub>，所以                ……18分

即：．（）   

（文）設(shè)，則．               ……13分

設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)是，斜率為，則=，……15分

線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，             ……17分

又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，

而，于是．故線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．   ……18分

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