題目列表(包括答案和解析)
如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB、
PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°求EF與平面ABCD所成的角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行和線線垂直的運(yùn)用,以及線面角的求解的綜合運(yùn)用
第一問(wèn)中,利用連AC,設(shè)AC中點(diǎn)為O,連OF、OE在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn) ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
第二問(wèn)中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF.
第三問(wèn)中,若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵ EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
證:連AC,設(shè)AC中點(diǎn)為O,連OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分別為PC、AC的中點(diǎn)∴ FO∥PA …………① 在△ABC中,∵ E、O分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②綜合①、②可知:平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO為EF在平面AC內(nèi)的射影 ∴ CD⊥EF.
(3)若ÐPDA=45°,則 PA=AD=BC ∵ EOBC,F(xiàn)OPA
∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
AD |
如圖,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,當(dāng)E、F分別在線段AD、BC上,且,AD=4,CB=6,AE=2,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊,使平面ABFE與平面EFCD垂直。
1.判斷直線AD與BC是否共面,并證明你的結(jié)論;
2.當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角為多少時(shí),二面角A—DC—E的大小是60°。
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