題目列表(包括答案和解析)
已知拋物線(xiàn)C:與圓有一個(gè)公共點(diǎn)A,且在A處兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)與同一直線(xiàn)l
(I) 求r;
(II) 設(shè)m、n是異于l且與C及M都相切的兩條直線(xiàn),m、n的交點(diǎn)為D,求D到l的距離。
【解析】本試題考查了拋物線(xiàn)與圓的方程,以及兩個(gè)曲線(xiàn)的公共點(diǎn)處的切線(xiàn)的運(yùn)用,并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。
【點(diǎn)評(píng)】該試題出題的角度不同于平常,因?yàn)樯婕暗氖莾蓚(gè)二次曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題,并且要研究?jī)汕(xiàn)在公共點(diǎn)出的切線(xiàn),把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來(lái),是該試題的創(chuàng)新處。另外對(duì)于在第二問(wèn)中更是難度加大了,出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線(xiàn),這樣的問(wèn)題對(duì)于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。
△ABC中,內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,其對(duì)邊a、b、c滿(mǎn)足,求A。
【解析】本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用,
因?yàn)?/p>
【點(diǎn)評(píng)】該試題從整體來(lái)看保持了往年的解題風(fēng)格,依然是通過(guò)邊角的轉(zhuǎn)換,結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí),以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的問(wèn)題。試題整體上比較穩(wěn)定,思路也比較容易想,先將利用等差數(shù)列得到角B,然后利用余弦定理求解運(yùn)算得到A。
設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),是拋物線(xiàn)上的個(gè)不同的點(diǎn)().
(1) 當(dāng)時(shí),試寫(xiě)出拋物線(xiàn)上的三個(gè)定點(diǎn)、、的坐標(biāo),從而使得
;
(2)當(dāng)時(shí),若,
求證:;
(3) 當(dāng)時(shí),某同學(xué)對(duì)(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開(kāi)展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請(qǐng)你就此從以下三個(gè)研究方向中任選一個(gè)開(kāi)展研究:
① 試構(gòu)造一個(gè)說(shuō)明該逆命題確實(shí)是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對(duì)任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說(shuō)明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真,請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,并說(shuō)明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評(píng)分說(shuō)明】本小題若填空不止一個(gè)研究方向,則以實(shí)得分最高的一個(gè)研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問(wèn)利用拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為.
由拋物線(xiàn)定義得到
第二問(wèn)設(shè),分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn),垂足分別為.
由拋物線(xiàn)定義得
第三問(wèn)中①取時(shí),拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn),垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,設(shè),
分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image010.png">,所以,
故可取滿(mǎn)足條件.
(2)設(shè),分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn),垂足分別為.
由拋物線(xiàn)定義得
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912360984321474/SYS201207091236478588145986_ST.files/image017.png">
;
所以.
(3) ①取時(shí),拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,
設(shè),分別過(guò)作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)垂線(xiàn),垂足分別為.由拋物線(xiàn)定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個(gè)當(dāng)時(shí),該逆命題的一個(gè)反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過(guò)作
拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為,
由及拋物線(xiàn)的定義得
,即.
因?yàn)樯鲜霰磉_(dá)式與點(diǎn)的縱坐標(biāo)無(wú)關(guān),所以只要將這點(diǎn)都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則
,
而,所以.
(說(shuō)明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿(mǎn)足條件且的一組個(gè)不同的點(diǎn),均為反例.)
③ 補(bǔ)充條件1:“點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿(mǎn)足 ”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)的縱坐標(biāo)()滿(mǎn)足,則”.此命題為真.事實(shí)上,設(shè),
分別過(guò)作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為,由,
及拋物線(xiàn)的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補(bǔ)充條件2:“點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”,即:
“當(dāng)時(shí),若,且點(diǎn)與點(diǎn)為偶數(shù),關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),則”.此命題為真.(證略)
某商店投入38萬(wàn)元經(jīng)銷(xiāo)某種紀(jì)念品,經(jīng)銷(xiāo)時(shí)間共60天,為了獲得更多的利潤(rùn),商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中,市場(chǎng)調(diào)研表明,該商店在經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品期間第天的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元,),記第天的利潤(rùn)率,例如
【小題1】求的值;
【小題2】求第天的利潤(rùn)率;
【小題3】該商店在經(jīng)銷(xiāo)此紀(jì)品期間,哪一天的利潤(rùn)率最大?并求該天的利潤(rùn)率。
如圖,A,B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?
【解析】本試題考查了利用正弦定理和余弦定理求解三角形的實(shí)際運(yùn)用。并考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
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