題目列表(包括答案和解析)
若函數(shù)的最小正周期是,則 .
若函數(shù)的最小正周期是,則 .
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.B 2. B 3. C 4. C 5.D 6. B 7.C 8. B.
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 6,17,28,39,40,51,62,73 . 10. . 11. 0.
12. 20. 13. . 14. . 15. .
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
16.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),即,
∴,∴.∵,∴.
(Ⅱ)mn ,
|mn|.
∵,∴,∴.從而.
∴當=1,即時,|mn|取得最小值.
所以,|mn|.
17.(本小題滿分12分)
解:(1)設擲兩顆正方體骰子所得的點數(shù)記為(x,y),其中,
則獲一等獎只有(6,6)一種可能,其概率為:;
獲二等獎共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共5種可能,其概率為:;
設事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”,則有:
P(A)=;
ξ
30-a
-70
0
30
p
(2)設俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元,則ξ的可能取值為,,0,,…7分
其分布列為:
則:Eξ=;
由Eξ=0得:a=310,即一等獎可設價值為310 元的獎品。
18.(本小題滿分14分)
證明:(1)取EC的中點是F,連結BF,
則BF//DE,∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角.
在△BAF中,AB=,BF=AF=.∴.
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.………5分
(2)AC⊥平面BCE,過C作CG⊥DE交DE于G,連AG.
可得DE⊥平面ACG,從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角.
在△ACG中,∠ACG=90°,AC=4,CG=
∴.∴.
∴二面角A-ED-B的的正弦值為.
(3)
∴幾何體的體積V為16.
方法二:(坐標法)(1)以C為原點,以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4)
,∴
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.
(2)平面BDE的一個法向量為,
設平面ADE的一個法向量為,
∴
從而,
令,則,
∴二面角A-ED-B的的正弦值為.
(3),∴幾何體的體積V為16.
19.(本小題滿分14分)
【解】(Ⅰ)法1:依題意,顯然的斜率存在,可設直線的方程為,
整理得 . ①
設是方程①的兩個不同的根,
∴, ②
且,由是線段的中點,得
,∴.
解得,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線的方程為,即
法2:設,,則有
依題意,,∴.
∵是的中點,
∴,,從而.
又由在橢圓內(nèi),∴,
∴的取值范圍是.
直線的方程為,即.
(Ⅱ)∵垂直平分,∴直線的方程為,即,
代入橢圓方程,整理得. ③
又設,的中點為,則是方程③的兩根,
∴.
到直線的距離,故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為:.
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:由題意得,,所以=
(Ⅱ)證:令,,則=1
所以=(1),=(2),
(2)―(1),得―=,
化簡得(3)
(4),(4)―(3)得
在(3)中令,得,從而為等差數(shù)列
(Ⅲ)記,公差為,則=
則,
則,當且僅當,即時等號成立
21.(本小題滿分14分)
解:(1)由題意,≥0在上恒成立,即.
∵θ∈(0,π),∴.故在上恒成立,
只須,即,只有.結合θ∈(0,π),得.
(2)由(1),得..
∵在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),
∴或者在[1,+∞)恒成立.
等價于,即,
而 ,()max=1,∴.
等價于,即在[1,+∞)恒成立,
而∈(0,1],.
綜上,m的取值范圍是.
(3)構造,.
當時,,,,所以在[1,e]上不存在一個,使得成立.
當時,.
因為,所以,,所以在恒成立.
故在上單調(diào)遞增,,只要,
解得.故的取值范圍是.
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