題目列表(包括答案和解析)
⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為,.
⑴把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
⑵求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點的直線的直角坐標(biāo)方程.
【解析】本試題主要是考查了極坐標(biāo)的返程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和簡單的圓冤啊位置關(guān)系的運用
(1)中,借助于公式,,將極坐標(biāo)方程化為普通方程即可。
(2)中,根據(jù)上一問中的圓的方程,然后作差得到交線所在的直線的普通方程。
解:以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.
(I),,由得.所以.
即為⊙O1的直角坐標(biāo)方程.
同理為⊙O2的直角坐標(biāo)方程.
(II)解法一:由解得,
即⊙O1,⊙O2交于點(0,0)和(2,-2).過交點的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x.
解法二: 由,兩式相減得-4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標(biāo)方程為y=-x
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當(dāng)時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時,在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時,令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時,在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽: 第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽,而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為,且各局勝負(fù)相互獨立.
求:(I)打滿3局比賽還未停止的概率;
(II)比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.
設(shè)橢圓(常數(shù))的左右焦點分別為,是直線上的兩個動點,.
(1)若,求的值;
(2)求的最小值.
【解析】第一問中解:設(shè),則
由得 由,得
②
第二問易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值.
解:設(shè), ……………………1分
則,由得 ①……2分
(1)由,得 ② ……………1分
③ ………………………1分
由①、②、③三式,消去,并求得. ………………………3分
(2)解法一:易求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.………………2分
, ……4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值.…2分
解法二:, ………………4分
所以,當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值
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