題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
正項單調(diào)數(shù)列的首項為,時,,數(shù)列對任意均有
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)已知,數(shù)列滿足,記數(shù)列的前項和為,求證.
(本小題滿分12分)四棱錐A-BCDE的正視圖和俯視圖如下,其中正視圖是等邊三角形,俯視圖是直角梯形.
(I)若F為AC的中點,當(dāng)點M在棱AD上移動時,是否總有BF丄CM,請說明理由.
(II)求三棱錐C_ADE的高.
(本小題滿分12分)
記集合A=,的定義域為集合B.
(1)求集合B;
(2)若,求實數(shù)a的范圍(R為實數(shù)集)。
(本小題滿分12分)
某市為了對學(xué)生的數(shù)理(數(shù)學(xué)與物理)學(xué)習(xí)能力進(jìn)行分析,從10000名學(xué)生中隨機(jī)抽出100位學(xué)生的數(shù)理綜合學(xué)習(xí)能力等級分?jǐn)?shù)(6分制)作為樣本,分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布如下表:
等級得分 |
||||||
人數(shù) |
3 |
17 |
30 |
30 |
17 |
3 |
(Ⅰ)如果以能力等級分?jǐn)?shù)大于4分作為良好的標(biāo)準(zhǔn),從樣本中任意抽。裁麑W(xué)生,求恰有1名學(xué)生為良好的概率;
(Ⅱ)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間的中點值為1.5)作為代表:
(ⅰ)據(jù)此,計算這100名學(xué)生數(shù)理學(xué)習(xí)能力等級分?jǐn)?shù)的期望及標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.1);
(ⅱ) 若總體服從正態(tài)分布,以樣本估計總體,估計該市這10000名學(xué)生中數(shù)理學(xué)習(xí)能力等級在范圍內(nèi)的人數(shù) .
(Ⅲ)從這10000名學(xué)生中任意抽取5名同學(xué),
他們數(shù)學(xué)與物理單科學(xué)習(xí)能力等級分
數(shù)如下表:
(。┱埉嫵錾媳頂(shù)據(jù)的散點圖;
(ⅱ)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(附參考數(shù)據(jù):)
(本小題滿分12分)
已知點、、的坐標(biāo)分別為,,(),其中,
(1)若,的值;
(2)記,若的最大值為,求實數(shù)的值.
一、選擇題:每小題5分,共60分.
BDCBB DCBCB AA
二、填空題:每小題4分,共16分.
13. 300 14.(文),(理)3。 ⒖ ⒗①③④.
三、解答題:
17.解:(Ⅰ)∵ =(sinB,1-cosB) , 且與向量=(2,0)所成角為
∴ ,∴ tan = , 又∵ 0<B<p Þ 0< < ,
∴ = ,∴ B = 。
(Ⅱ)由(1)可得A + C = ,
∴, 8分
∵,∴, 10分,∴,
,當(dāng)且僅當(dāng)。 12分
18.(文科))解:設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人,則文娛隊中共有(7-x)人,那么只會一項的人數(shù)是(7-2 x)人. (I)∵,∴.
即,∴.∴x=2. 故文娛隊共有5人.(8分)
(II) .(12分)
(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分
乙得54分(正確9題)的概率為,……4分
顯然,即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分
(Ⅱ)設(shè)答錯一題倒扣x分,則學(xué)生乙選對題的個數(shù)為隨機(jī)選擇20個題答對題的個數(shù)的期望為,得分為,
,令,得,
即每答錯一題應(yīng)該倒扣2分 ……12分
19.解:(Ⅰ)取BD中點N.連AN、MN. 就是異面直線AM與BC所成的角,在中, (4分)
(Ⅱ)取BE中點P.連AP、PM,作于過作于連MH. , ,即AB 的平面角,在AMP中,
在ABP中,
二面角的大小,為 (8分)
(Ⅲ)若將圖(1)與圖(2)面ACD重合,該幾何體是5面體
這斜三棱柱的體積=3VA-BCD=3´´´= (12分)
20.(文科) (Ⅰ) ∵-(y+3ax)+(x3-1)=0,∴=(y+3ax)-(x3-1)
∴(y+3ax)+[-(x3-1)]=1,即y=f(x)=x3-3ax………………………2分
∴f/(x)=3x2-
當(dāng)a≤0時,f/(x)=3(x2-a)≥0對x∈R恒成立,f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,+∞)
當(dāng)a>0時,f/(x)>0,x<-或x>
f/(x)<0得-<x<…………………………………………6分
此時,函數(shù)f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上是增函數(shù),
在(-,)上是減函數(shù)……………………………………8分
(Ⅱ)∵a=1,∴f/(x)=3x2-3,直線4x+y+m=0的斜率為-4………………9分
假設(shè)f/(x)=-4,即3x2+1=0無實根
∴直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線………………………………12分
(理科)(Ⅰ)∵-[y+
由于A、B、C三點共線 即[y+
∴y=f(x)=ln(x+1)+1-
f /(x)=,得f /(1)=,故f(x)=ln(x+1)…………………………………4分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-,由g/(x)=-=
∵x>0,∴g/(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)………………6分
故g(x)>g(0)=0
即f(x)>………………………………………………………………8分
。á螅┰坏仁降葍r于x2-f(x2)≤m2-2bm-3
令h(x)=x2-f(x2)=x2-ln(1+x2),由h/(x)=x-=…………………10分
當(dāng)x∈[-1,1]時,h(x)max=0,∴m2-2bm-3≥0
令Q(b)=m2-2bm-3,則
得m≥3或m≤-3……………12分
21.解:(I)由
因直線相切 ,故所求橢圓方程為 (II)當(dāng)L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:
當(dāng)L與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程:由
即兩圓相切于點(0,1)
因此,所求的點T如果存在,只能是(0,1).事實上,點T(0,1)就是所求的點,證明如下。
當(dāng)直線L垂直于x軸時,以AB為直徑的圓過點T(0,1)
若直線L不垂直于x軸,可設(shè)直線L:
由
記點、
∴TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點T(0,1),故在坐標(biāo)平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件.
22.(文科)解:(I)∵. ∴曲線在點處的切線ln的斜率為.
∴切線ln的方程為. (2分)
令得 ,∴.
依題意點在直線上,∴ 又. (4分)
∴數(shù)列是1為首項,為公比的等比數(shù)列. ∴. (5分)
(Ⅱ)由已知.
∴. ①
. ②
①―②得
. (9分)
∴ (10分)
又時,.
又當(dāng)時,. ∴.∴當(dāng)時,.
∴ ∴. (13分)綜上. (14分)
22.(理科)解: (Ⅰ)∵f(1)=1,∴f(x)=ea-1=1 ∴a=1 ……2分
(Ⅱ) x∈(0,1)時,f(x)=xe,
f'(x)=e+xe(-2x+a)=(-2x2+ax+1)e,……3分
f'(x)≥0,
∵t(0)=1∴-2x2+ax+1>0在(0,1)恒成立Þ t (1) ≥
∴當(dāng)a≥1時,f(x)在(0,1)上是增函數(shù); ……5分
又當(dāng)a=1時,f(x)在(0,+∞)也是單調(diào)遞增的; ……6分
當(dāng)a>1時,∵=ea-1>1=f(1),此時,f(x)在(0,+∞)不一定是增函數(shù).…… 7分
(Ⅲ)當(dāng)x∈(0,1)時,g(x)=lnf(x)+x2-ax=lnx,當(dāng)n≥2時,
欲證:-<nk=1-n,
即證-1-2-3-……-(n-1)<ln<1+++……+-n
即需證
-1-2-3-……-(n-1)<ln1+ln+ln+……+ln<1+++……+-n
猜想1-<lnt<t-1(其中0<t<1).……8分
構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-1+(0<t<1)
∵h(yuǎn)'(t)=-=<0,∴h(t)在(0,1)上時單調(diào)遞減的,
∴h(t)>h(1)=0,即有l(wèi)nt>1-……10分
設(shè)s(t)=lnt-t+1(0<t<1),
同理可證s(t)<0,∴1-<lnt<t-1(0<t<1)成立 ……12分
分別取t=,,……,(n≥2),所得n-1個不等式相加即得:
-1-2-3-…-(n-1)<ln1+ln+ln+……+ln<1+++……+-n
∴-<nk=1-n ……14分
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