已知正四面體S―ABC中.點(diǎn)E為SA的中點(diǎn).點(diǎn)F為△ABC的中心.則異面直線EF.AB所成的角為 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知正四面體S－ABC的所有棱長(zhǎng)均為a，E、F分別是SC、AB的中點(diǎn)，求異面直線EF和SA所成的角．

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已知四面體S-ABC的各個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角為


  1. A.
    90°
  2. B.
    60°
  3. C.
    45°
  4. D.
    30°

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已知四面體S－ABC的各個(gè)側(cè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，則異面直線EF與SA所成的角為

[　　]
A．

90°

B．

60°

C．

45°

D．

30°

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已知球O是棱長(zhǎng)為12的正四面體S-ABC的外接球，D，E，F(xiàn)分別是棱SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF截球O所得截面的面積是
 
．

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已知球O是棱長(zhǎng)為12的正四面體S-ABC的外接球，D，E,F分別是棱SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF截球O所得截面的面積是__________

 

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

B

C

A

B

A

C

B 

B

理D 文B

D

理D 文C

二．填空題

13.（理）－1；(文) (－1,1)∪(2,+∞).         14. 90.

15. ；                                     16. （理）x＋2y－3＝0； (文).

三．解答題

17.  解：（I）平移以后得

，又關(guān)于對(duì)稱

, *，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值，

所以，取得最大值時(shí)的集合為.…………6分

（II）的最小正周期為； ，

，在[上的值域?yàn)?sub>.…………12分

18．解：（I）當(dāng)ｎ∈Ｎ時(shí)有：＝２－３n，　　　∴＝２－３(n+1)，

兩式相減得：＝2－２－３　　　∴＝２＋３。　……３分

∴＋３＝２（＋３）。

又＝＝２－３，　　　∴＝３，　＋３＝６≠０　　　……４分

∴數(shù)列｛＋３｝是首項(xiàng)6，公比為2的等比數(shù)列．從而ｃ＝３．　　……６分

 （II）由（1）知：+3＝，　　∴＝－３．　　　　………８分

（Ⅲ）假設(shè)數(shù)列｛｝中是否存在三項(xiàng),,,(r<s<t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,

∵<<,   ∴只能是＋＝２,

∴（－３）＋（－３）＝２（－３）

即＋＝．∴１＋＝．　

　∵ｒ＜ｓ＜ｔ，ｒ、ｓ、ｔ均為正整數(shù)，∴式左邊為奇數(shù)右邊為偶數(shù)，不可能成立．

因此數(shù)列｛｝中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng)．　　………12分

19. （理）解：設(shè)從甲袋中取出個(gè)白球的事件為，從乙袋中取出個(gè)白球的事件為其中＝0，1，2，則，.

（I）,,

所以………………………..6分

（II）分布列是

0

1

2

3

4

P

……………12分

(文) 19．（I）三人恰好買到同一只股票的概率。  ……4分

（II）解法一：三人中恰好有兩個(gè)買到同一只股票的概率.……9分

由（I）知，三人恰好買到同一只股票的概率為，所以三人中至少有兩人買到同一只股票的概率。  ……12分

 

20.證明：（I）因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中，

由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD…………3分

文本框: （II）解法一:作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的

平面角，設(shè)為.

又PE : ED=2 : 1，所以

從而    ……………7分

解法二:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、

z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

所以 設(shè)二面角E-AC-D的平面角為，并設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量是

得

平面ACD的一個(gè)法向量取，……………7分

（Ⅲ）解法一:設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，如上述方法建立坐標(biāo)系.

則

       令  , 得

解得      即 時(shí)，

亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，、、共面.

又  BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC…………12分

      
   
      
    
    
      
    
      (證法一) 取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE. 
①
      由   知E是MD的中點(diǎn).
      連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).
      所以  BM//OE.  ②
      由①、②知，平面BFM//平面AEC.
      又  BF平面BFM，所以BF//平面AEC.
      (證法二)因?yàn)?nbsp; 
               

      所以  、、共面.又 BF平面ABC，從而BF//平面AEC. ……12分
       
      21．解：（I）
      由，又 ， 
       ， 
                                      
…… 4分
      （II）
      ，其過點(diǎn)  
                                  
        …… 7分
      （Ⅲ）由（2）知、，
      、、   
      得  
      ①當(dāng)。
      ②當(dāng)時(shí)，
      又、  
      即
      所以直線AB的方程為                      
…… 12分
      22．（理科）（Ⅰ）由已知條件代入，數(shù)形結(jié)合易知y=lnx與y=的交點(diǎn)為A（α，），y=ex與y=的交點(diǎn)為B（β，）；由KAB= ―1，易知αβ=2009          
…………4分
      （Ⅱ）設(shè)=，則
      ∵ ， ∴ 在區(qū)間（1，）上是減函數(shù)    又∵ 
      ∴ ，即，
      ∴在區(qū)間（1，）上，函數(shù)圖象在函數(shù)圖象的下方        
…9分
      （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，不等式成立；
      當(dāng)時(shí)，
                  
=
      由已知，  ∴
≥
      ∴ ≥．                 
………………………………14分
      （文科）解：（Ⅰ）當(dāng)cosθ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x3＋在R上遞增，故無極值. …3分
      （Ⅱ）函數(shù)f、(x)＝12x2－6xcosθ，令f、(x)＝0，得x＝0或x＝cosθ
      由于0≤θ≤及（1）結(jié)論，f極小(x)＝f(cosθ)＝－cos3θ＋＞0，
      ∴0＜cosθ＜，而0≤θ≤，∴θ的取值范圍是(，)�！�7分
      （Ⅲ）f(x)在區(qū)間(2a－1，a)是增函數(shù)，則或，
      由得　a≤0，又∵θ∈(，)，∴要使2a－1≥恒成立，
      即要2a－1≥，即a≥，由，得≤a＜1，
      ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪[，1) …14分
      		
      
	
	
      
		
      


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