已知f(x)=

x

1-x

，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f_n-1（x）]（n＞1，n∈N^*），則f₃（x）的表達(dá)式為，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式為．

已知.

（1）求的極值，并證明：若有；

（2）設(shè)，且，，證明：，

若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；

（3）證明：若，則.

 

已知

（1）求的極值，

并證明：若有；

（2）設(shè)，且，，

證明：，

若，由上述結(jié)論猜想一個(gè)一般性結(jié)論（不需要證明）；

（3）證明：若，則

 

已知函數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】第一問(wèn)中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問(wèn)中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時(shí)，成立

則時(shí)，

                              

綜合i),ii) : 成立

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說(shuō)明理由．

【解析】第一問(wèn)中取，則；                         …………1分

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得

取，則得到結(jié)論

第二問(wèn)中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

猜想：當(dāng)時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；                              …………6分

猜想：當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過(guò)程可知，時(shí)結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，

當(dāng)時(shí),

而

∴

即時(shí)結(jié)論也成立，

∴當(dāng)時(shí)，成立。                          …………11分

綜上得，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，