題目列表(包括答案和解析)
在數(shù)列中,,其中,對(duì)任意都有:;(1)求數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng);
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,假設(shè),試求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若對(duì)一切恒成立,求的取值范圍。
【解析】第一問中利用)同理得到
第二問中,由題意得到:
累加法得到
第三問中,利用恒成立,轉(zhuǎn)化為最小值大于等于即可。得到范圍。
(1)同理得到 ……2分
(2)由題意得到:
又
……5分
……8分
(3)
已知數(shù)列中,,,數(shù)列中,,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
【解析】第一問中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式
,因此得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;
第二問中,在 即為:
即數(shù)列是以的等差數(shù)列
得到其前n項(xiàng)和。
第三問中, 又
,利用錯(cuò)位相減法得到。
解:(1)
即數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列
……4分
(2)在 即為:
即數(shù)列是以的等差數(shù)列
……8分
(3) 又
① ②
①- ②得到
在數(shù)列中, 記
(Ⅰ)求、、、并推測;
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知,、、、,猜想可得
第二問中,①當(dāng)時(shí),=,又,猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立,即,
當(dāng)時(shí),
=
=,即當(dāng)時(shí)猜想也成立
兩步驟得到。
(2)①當(dāng)時(shí),=,又,猜想正確
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立,即,
當(dāng)時(shí),
=
=,即當(dāng)時(shí)猜想也成立
由①②可知,對(duì)于任何正整數(shù)都有成立
已知直三棱柱中, , , 是和的交點(diǎn), 若.
(1)求的長; (2)求點(diǎn)到平面的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問中,利用ACCA為正方形, AC=3
第二問中,利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 …………… 5分
(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分
(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB
CHE為二面角C-AB-C的平面角. ……… 9分
sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為 ……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ……………………… 3分
=(2, -, -), =(0, -3, -h(huán)) ……… 4分
·=0, h=3
(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)
點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分
(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C-AB-C的大小滿足cos== ……… 11分
二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為
如圖,四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,側(cè)棱.
。ǎ保┣笕忮F的體積;
。ǎ玻┣笾本與平面所成角的正弦值;
。ǎ常┤衾上存在一點(diǎn),使得,當(dāng)二面角的大小為時(shí),求實(shí)數(shù)的值.
【解析】(1)在中,
. (3’)
(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
(4’)
,設(shè)平面的法向量為,
由得, (5’)
則,
. (7’)
(3)
設(shè)平面的法向量為,由得, (10’)
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