在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，點(diǎn)M 到兩定點(diǎn)F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)M 的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C 的方程；   
（2）若直線l：y=kx+m 與曲線C 相交于不同兩點(diǎn)A、B （A、B 不是曲線C 和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），以AB 為直徑的圓過點(diǎn)D（2，0），試判斷直線l 是否經(jīng)過一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，連接橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為

1

2

，右準(zhǔn)線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線AM與直線l交于點(diǎn)P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判斷點(diǎn)B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點(diǎn)N，若直線MN垂直于x軸，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2

2

的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在直線l：x-y-m=0與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)恰在拋物線x²=4y上，若l存在，請求出m的值，若l不存在，請說明理由．

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（6，2），且圓C總被直線x+2y-6=0平分其面積，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓C相交于不同的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)k，使得向量

OM

+

ON

與

PC

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．