已知雙曲線C：的一個焦點是F₂（2，0），且．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過焦點F₂的直線l的一個法向量為（m，1），當直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點時，求實數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點M在曲線3（x-1）²-y²=3上．
（3）設(shè)（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

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已知雙曲線C：的一個焦點是F₂（2，0），且．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過焦點F₂的直線l的一個法向量為（m，1），當直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點時，求實數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點M在曲線3（x-1）²-y²=3上．
（3）設(shè)（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

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在直角坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足.
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程；
（2）過點Q(－2,0)作直線l與曲線C交于A、B兩點，設(shè)N是過點，且以為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

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一、

1．B       2．A      3．D      4．A      5．C       6．A      7．D      8．B       9．D      10．A

11．A     12．B

1．由題意知，解得．

2．由得，化得，解得．

3．，又．

4．設(shè)到的角為的斜率的斜率，

則，于是．

5．由條件，解即得，則．

6．不等式組化得 

       平面區(qū)域如圖所示，陰影部分面積：

       ．

7．由已知得，而

       ，則是以3為公比的等比數(shù)列．

8．即，于是，而解得．

9．函數(shù)可化為，令，

       可得其對稱中心為，當時得對稱中心為．

10．．

11．由條件得：，則得所以．

12．沿球面距離運動路程最短，最短路程可以選

       ．

二、填空題

13．

       ，由與垂直得．即

       ，解得

14．99

       在等差數(shù)列中，也是等差數(shù)列，由等差中項定理得．

       所以．

15．

由題意知，直線是拋物線的準線，而到的距離等于到焦點的距離．即求點到點的距離與到點的距離和的最小值，就是點與點的距離，為．

16．②

一方面．由條件，，得，故②正確．

另一方面，如圖，在正方體中，把、分別記作、，平面、平面、平面分別記作、、，就可以否定①與③．

三、解答題

17．解：，且

       ，即

       又．

       由余弦定理，

       ，故．

18．解：（1）只有甲解出的概率：．

       （2）只有1人解出的概率：．

19．解：（1）由已知，∴數(shù)列的公比，首項

              又數(shù)列中，

           ∴數(shù)列的公差，首項

           ∴數(shù)列、的通項公式依次為．

（2），

       ．

20．（1）證明；在直三棱柱中，

              面

              又

              面，而面，

           ∴平面平面

（2）解：取中點，連接交于點，則．

與平面所成角大小等于與平面所成角的大�。�

取中點，連接、，則等腰三角形中，．

又由（1）得面．

面

為直線與面所成的角

又

，

∴直線與平面所成角的正切值為．

（注：本題也可以能過建立空間直角坐標系解答）

21．解：（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為

              ，半焦距

              由已知得，解得，則

              故橢圓及雙曲線方程分別為及．

       （2）向量與的夾解即是，設(shè)，則

              由余弦定理得           ①

        由橢圓定義得                    ②

        由雙曲線定義得                   ③

        式②+式③得，式②式③得

將它們代入式①得，解得，所以向量與夾角的余弦值為．

22．解（1）由得在處有極值

                               ①

又在處的切線的傾斜角為

          ②

由式①、式②解得

設(shè)的方程為

∵原點到直線的距離為，

解得．

又不過第四象限，．

所以切線的方程為．

切點坐標為（2，3），則，

解得

．

（2）

       在上遞增，在上遞減

       而

       在區(qū)間上的最大值是3，最小值是