題目列表(包括答案和解析)
在數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求和 綜合運(yùn)用。第一問中 ,利用,得到且,故故為以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列. 從而
第二問中,
由及知,從而可得且
故為以1為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.
從而 ……………………6分
(2)……………………9分
設(shè)為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿足
(1)若,求及;
(2)求d的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的求和的運(yùn)用以及通項(xiàng)公式的運(yùn)用。第一問中,利用和已知的,得到結(jié)論
第二問中,利用首項(xiàng)和公差表示,則方程是一個(gè)有解的方程,因此判別式大于等于零,因此得到d的范圍。
解:(1)因?yàn)樵O(shè)為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,滿足
所以
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911400068702336/SYS201207091140476245773106_ST.files/image012.png">
得到關(guān)于首項(xiàng)的一個(gè)二次方程,則方程必定有解,結(jié)合判別式求解得到
已知是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,是等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,,證明().
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.
由,得,,.
由條件,得方程組,解得
所以,,.
(2)證明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:數(shù)學(xué)歸納法)
① 當(dāng)n=1時(shí),,,故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即,則當(dāng)n=k+1時(shí),有:
即,因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②,可知對(duì)任意,成立.
已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,,且、、成等比數(shù)列。
⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
⑵設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。
【解析】第一問中利用等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為d,則依題意有:
第二問中,利用第一問的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,
,利用裂項(xiàng)求和的思想解決即可。
如圖,有三個(gè)并排放在一起的正方形,.
(1)求的度數(shù);
(2)求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)候的x值。
【解析】本試題主要是考查了三角函數(shù)的兩角和差的三角公式的運(yùn)用以及三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。
(1)妨設(shè)正方形邊長為1,易知,可得得到結(jié)論。
(2)可知y的最大值,進(jìn)而得到x的取值集合。
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