題目列表(包括答案和解析)
給出下列命題：
（1）設(shè)
、
為兩個(gè)定點(diǎn)，
為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為雙曲線；
（2）若等比數(shù)列的前
項(xiàng)和
，則必有
；
（3）若
的最小值為2；
（4）雙曲線
有相同的焦點(diǎn)；
（5）平面內(nèi)到定點(diǎn)（3，-1）的距離等于到定直線
的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線.
其中正確命題的序號(hào)是 .
、
為兩個(gè)定點(diǎn)，
為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為雙曲線；
項(xiàng)和
，則必有
；
的最小值為2；
有相同的焦點(diǎn)；
的距離的點(diǎn)的軌跡是拋物線.以下關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)
、
為兩個(gè)定點(diǎn)，
為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為雙曲線;
②設(shè)過定圓
上一定點(diǎn)，作圓的動(dòng)點(diǎn)弦
，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
與橢圓
有相同的焦點(diǎn)。其中真命題的序號(hào)是_________．（寫出所有真命題的序號(hào)）
以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)
、
為兩個(gè)定點(diǎn)，
為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為雙曲線；
②過定圓
上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦
，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)為 .（寫出所有真命題的序號(hào)）
以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：
①設(shè)
、
為兩個(gè)定點(diǎn)，
為非零常數(shù)，
，則動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為雙曲線；
②過定圓
上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦
，
為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；
③方程
的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線
有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)為 .（寫出所有真命題的序號(hào)）
一、選擇題：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空題：
11. 
； 12. 
；
13. 
；
14. 
；
15. 
； 16. ③ ④ .
三、解答題：
17.解：（1）在
中，由
，得
， 又由正弦定理：
得：
.
……………………4分
（2）由余弦定理：
得：
，
即
，解得
或
（舍去），所以
.
……8分
所以，
即
.
…………………12分
18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設(shè)為：
、
，
則
解之得：
，
所以雙曲線的方程為：
.
……………………6分
（2）設(shè)
、
，直線
與
軸交于
點(diǎn)，此點(diǎn)即為雙曲線的右焦點(diǎn)，由
消去
，得
，
此方程的
且
，
，
所以、兩點(diǎn)分別在左、右支上，不妨設(shè)在左支、在右支上 ………9分
則由第二定義知：
，
， …………11分
所以
，即
. ………14分
（亦可求出、的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求.）
19.（1）當(dāng)點(diǎn)
為
的中點(diǎn)時(shí)，
與平面
平行.
∵在
中，、
分別為、
的中點(diǎn)
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）證明（略證）：易證
平面
，又是
在平面內(nèi)的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵
與平面
所成的角是
，∴
，
，
.
過作
于
，連
，則
. …………………10分
易知：
，
，設(shè)
，則
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立圖示空間直角坐標(biāo)系，則
，
，
，
.
設(shè)，則
∴ （本小題4分）
（3）設(shè)平面
的法向量為
，由
，
得：
，
依題意
，∴
，
得.
（本小題6分）
20.解：（1）
，
∴可設(shè)
，
因而
①
由
得 
②
∵方程②有兩個(gè)相等的根，
∴
，即
解得 
或
由于
，（舍去），將 代入 ① 得
的解析式
.
…………………6分
（2）
=
，
∵
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減，
∴
在上的函數(shù)值非正，
由于，對(duì)稱軸
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）
故所求a的取值范圍是
.
…………………11分
（3）時(shí)，方程
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即證方程
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上遞增，在
上遞減，的極大值
，的極小值
，故函數(shù)的圖像與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得證.
……………………16分
21.解：（1）
， ……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴數(shù)列
是
為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<
<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又當(dāng)
時(shí)，
，∴
， ……………………13分
∴
<
.……14分
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