題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個焦點(diǎn)是,一條漸近線的方程是.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍.
(本小題滿分14分)
已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)(-1,),過點(diǎn)P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求直線l的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)是否存在過點(diǎn)P的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,滿足·=?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
(本小題滿分14分)已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn)(,).
(I)求橢圓方程
(II)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線:,與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn),直線OP、OQ的斜率依次為、,滿足,求的值.
(本小題滿分14分)
已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的一個焦點(diǎn)是,一條漸近線的方程是.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點(diǎn)M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的取值范圍.
(本小題滿分14分)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2, 0),實(shí)軸長為.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;()
(Ⅱ)若直線l:與雙曲線C的左支交于A、B兩個不同點(diǎn),求的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0,b),求b的取值范圍.
一、選擇題(每題5分共50分)
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C
6.C 7.B 8.C 9.C 10.D
二、填空題(每題5分共20分)
11. 12. 13.
14.(0,2), 15.3
三、解答題(共80分)
16.解:(Ⅰ)由已知得:,
又是△ABC的內(nèi)角,所以.
(2)由正弦定理:,
又因?yàn)?sub>,,又是△ABC的內(nèi)角,所以.
17.證明:連結(jié)AB,A1D,在正方形中,A1B=A1D,O是BD中點(diǎn),
∴A1O⊥BD;
連結(jié)OM,A
OA=OC=a,AC=a,
∴A1O2=A
∴A1O⊥OM,
∴AO1⊥平面MBD
18解:(Ⅰ),
因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值,則有,.
即
解得,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
所以,當(dāng)時(shí),取得極大值,又,.
則當(dāng)時(shí),的最大值為.
因?yàn)閷τ谌我獾?sub>,有恒成立,
所以 ,
解得 或,
因此的取值范圍為.
19.解(Ⅰ)由題意知,
當(dāng)n≥2時(shí),,,
兩式相減得
整理得:
∴數(shù)列{}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列。
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴bn=n
, …………①
, …………②
①-②得
,
∴,
∴,
20.解:設(shè)這臺機(jī)器最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為:
,
等號當(dāng)且僅當(dāng)
答:這臺機(jī)器最佳使用年限是12年,年平均費(fèi)用的最小值為1.55萬元.
21.⑴c=2, a=3 雙曲線的方程為
⑵ 得 (1?3k2)x2?6kx?9=0
x1+x2= , x1x2=
由△>0 得 k2<1
由= x1x2+y1y2=(1+k2) x1x2+k(x1+x2)+2>2得 <k2<3
所以,<k2<1
即k∈(?1, )∪( , 1 )
附加題
(1)證明:先將變形:,
當(dāng),即時(shí),∴恒成立,
故的定義域?yàn)?sub>。
反之,若對所有實(shí)數(shù)都有意義,則只須。
令,即,解得,故。
(2)解析:設(shè),
∵是增函數(shù),
∴當(dāng)最小時(shí),最小。
而,
顯然,當(dāng)時(shí),取最小值為,
此時(shí)為最小值。
(3)證明:當(dāng)時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號成立。
∴。
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