題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意的有≤成立,求實(shí)數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明().
【解析】(1)解: 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">
由,得
當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
極小值 |
因此,在處取得最小值,故由題意,所以
(2)解:當(dāng)時(shí),取,有,故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí),令,即
令,得
①當(dāng)時(shí),,在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對(duì)于任意的,總有,即在上恒成立,故符合題意.
②當(dāng)時(shí),,對(duì)于,,故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí),,即不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當(dāng)時(shí),
在(2)中取,得 ,
從而
所以有
綜上,,
已知函數(shù)在處取得極值2.
⑴ 求函數(shù)的解析式;
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
【解析】第一問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)
又f(x)在x=1處取得極值2,所以,
所以
第二問(wèn)中,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得
解:⑴ 求導(dǎo),又f(x)在x=1處取得極值2,所以,即,所以…………6分
⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131543901356936_ST.files/image008.png">,又f(x)的定義域是R,所以由,得-1<x<1,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增,則有,得, …………9分
當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞減,則有
得 …………12分
.綜上所述,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞減;則實(shí)數(shù)m的取值范圍是或
設(shè)函數(shù).
(I)求的單調(diào)區(qū)間;
(II)當(dāng)0<a<2時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.
【解析】第一問(wèn)定義域?yàn)檎鏀?shù)大于零,得到..
令,則,所以或,得到結(jié)論。
第二問(wèn)中, ().
.
因?yàn)?<a<2,所以,.令 可得.
對(duì)參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(I)定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">. ………………………1分
.
令,則,所以或. ……………………3分
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以.
令,則,所以.
因?yàn)槎x域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912273087455588/SYS201207091228013432358116_ST.files/image005.png">,所以. ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,
單調(diào)遞減區(qū)間為. ………………………7分
(II) ().
.
因?yàn)?<a<2,所以,.令 可得.…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
①當(dāng),即時(shí),
在區(qū)間上,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
所以. ………………………10分
②當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上為減函數(shù).
所以.
綜上所述,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),
設(shè)函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若在上的最大值為,求的值.
【解析】第一問(wèn)中利用函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.
當(dāng)a=1時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
第二問(wèn)中,利用當(dāng)時(shí), >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,2),.
(1)當(dāng)時(shí),所以的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2);
(2)當(dāng)時(shí), >0, 即在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.
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