題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）
有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各個(gè)面上分別寫著數(shù)字1，2，3，5.同時(shí)投擲這兩枚玩具一次，記
為兩個(gè)朝下的面上的數(shù)字之和.
（Ⅰ）求事件“m不小于6”的概率；
（Ⅱ）“m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率是不是相等？證明你作出的結(jié)論.
（本小題滿分12分）
有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回的從中依次抽2件，求：
（1）第一次抽到次品的概率；
（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；
（3）在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率。
（本小題滿分12分）
有兩枚大小相同質(zhì)地均勻的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各個(gè)面上分別寫著數(shù)字1,2,3,5。同時(shí)投擲這兩枚玩具一次，記m為兩個(gè)朝下的面上的數(shù)字之和.
(1) 求事件“m不小于6”的概率 ;
(2) “m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率是否相等？證明你做出的結(jié)論.
（本小題滿分12分）
有3個(gè)男生，2個(gè)女生站成一排.
（1）兩個(gè)女生不站在一起的排法；
（2）男生甲不站兩端的排法；
（3）甲、乙之間有且只有一人的排法.
(本小題滿分12分)
湖南省有許多旅游景點(diǎn)，某同學(xué)利用寒暑假旅游了張家界、南岳、韶山、岳陽(yáng)樓和桃花源等5個(gè)景點(diǎn)，并收藏有張家界紀(jì)念門票3張，南岳紀(jì)念門票2張，韶山、岳陽(yáng)樓、桃花源紀(jì)念門票各1張，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取5張.
（Ⅰ）求抽取的5張門票中恰有3個(gè)或恰有4個(gè)景點(diǎn)的概率；
（Ⅱ）若抽取的5張門票中5個(gè)景點(diǎn)都有記10分，恰有4個(gè)景點(diǎn)記8分，恰有3個(gè)景點(diǎn)記6分，依此類推.設(shè)
表示所得的分?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image273.gif)
12．4 13．70，10，32 14．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image275.gif)
15．試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image107.gif)
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
16．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image278.gif)
…………………………………2分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image280.gif)
……………………………………………………3分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image282.gif)
………………………………………………………5分
∴函數(shù)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image129.gif)
的最小正周期試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image285.gif)
…………………………………………6分
（Ⅱ）當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image196.gif)
時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image287.gif)
………………………………………8分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image289.gif)
………………………………………………………………10分
∴的值域是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image291.gif)
………………………………………………………12分
17．(本小題滿分12分)
解：設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image167.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image169.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image171.gif)
分別表示3枚鑰匙，其中是房門鑰匙，則這個(gè)隨機(jī)事件可看作是三枚鑰匙的一個(gè)排序，它包含了：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image296.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image298.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image300.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image302.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image304.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image306.gif)
共6個(gè)基本事件；………………………………4分
(Ⅰ)設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image002.gif)
表示事件“恰好第三次打開房門鎖”，則事件包括、共兩個(gè)基本事件：……………………………………………………………………6分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image311.gif)
…………………………………………………………………………8分
(Ⅱ)設(shè)：用試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image004.gif)
表示事件“兩次內(nèi)打開房門鎖”，則事件包含：、、、共4個(gè)基本事件：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image318.gif)
………………………………………………………10分
答：恰好第三次打開房門鎖的概率是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image320.gif)
，兩次內(nèi)打開的概率是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image322.gif)
． ……………12分
18．(本小題滿分14分)
(Ⅰ) 證明：依題意：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image324.gif)
，且試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image326.gif)
在平面試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image209.gif)
外．……………………2分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image207.gif)
平面…………………………………………………………………4分
(Ⅱ) 證明：連結(jié)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image330.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image332.jpg)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image334.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image336.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image338.gif)
平面試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image340.gif)
…………5分
又∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image179.gif)
在試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image343.gif)
上，∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image345.gif)
在平面上
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image347.gif)
…………………………6分
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image204.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image350.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image352.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image354.gif)
中，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image356.gif)
………………………………………7分
同理：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image358.gif)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image360.gif)
中，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image362.gif)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image364.gif)
………………………………………………………………………8分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image211.gif)
平面……………………………………………………………10分
(Ⅲ)解：∵平面
∴所求體積試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image368.gif)
……………………………………………12分
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image370.gif)
…………………………………………14分
19．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 根據(jù)題意，得
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image372.gif)
………………………………………………………3分
解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image374.gif)
……………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ) 試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image376.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image127.jpg)
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image378.gif)
……………………10分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image380.gif)
………………14分
20．(本小題滿分14分)
解：(Ⅰ) 依題意：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image382.gif)
． ……………………………………………………2分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image384.gif)
∴所求方程為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image386.gif)
． ……………………………………………4分
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)圓圓心為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image388.gif)
，（其中試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image390.gif)
），試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image392.gif)
、試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image394.gif)
的坐標(biāo)分別為試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image396.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image398.gif)
因?yàn)閳A試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image245.gif)
過(guò)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image401.gif)
，故設(shè)圓的方程試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image403.gif)
……………6分
∵、是圓和試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image160.gif)
軸的交點(diǎn)
∴令試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image406.gif)
得：試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image408.gif)
…………………………………………………8分
則試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image410.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image412.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image414.gif)
…………………10分
又∵圓心在拋物線試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image237.gif)
上
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image418.gif)
…………………………………………………………………11分
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image420.gif)
…………………………………．12分
∴當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image422.gif)
時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image424.gif)
(定值)． ……………………………………………14分
21．(本小題滿分14分)
解：由函數(shù)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image264.gif)
得，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image426.gif)
………………3分
(Ⅰ) 若為區(qū)間試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image266.gif)
上的“凸函數(shù)”，則有試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image430.gif)
在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像，當(dāng)且僅當(dāng)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image432.gif)
，
即試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image434.gif)
試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image436.gif)
． …………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image269.gif)
時(shí)，恒成立試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image440.gif)
當(dāng)時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image442.gif)
恒成立．……………………………………………………………………………8分
當(dāng)時(shí)，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image445.gif)
顯然成立。 …………………………………9分
當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image447.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image449.gif)
∵試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image081.gif)
的最小值是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image165.gif)
．
∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image453.gif)
．
從而解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image455.gif)
…………………………………………………………………1分
當(dāng)試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image457.gif)
，試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image459.gif)
∵的最大值是試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image461.gif)
，∴試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image463.gif)
，
從而解得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image465.gif)
． ………………………………………………………………13分
綜上可得試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image467.gif)
，從而試題(二)文科數(shù)學(xué).files/image469.gif)
………………………………14分
如上各題若有其它解法，請(qǐng)?jiān)u卷老師酌情給分．
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