代入橢圓方程得 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)若直線的斜率之積為,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿足

【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有  ①

,得,

,可得,代入①并整理得

由于,故.于是,所以橢圓的離心率

(2)證明:(方法一)

依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由條件得消去并整理得  ②

,

.

整理得.而,于是,代入②,

整理得

,故,因此.

所以.

(方法二)

依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由P在橢圓上,有

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以,即   ③

,得整理得.

于是,代入③,

整理得

解得,

所以.

 

查看答案和解析>>

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),且不在軸上,軸,垂足為,線段中點(diǎn)的軌跡為曲線,過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線,它與曲線交于、兩點(diǎn)。

(I)求曲線的方程;

(II)試證明:在軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為

第二問中,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 

,∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,  

要使軸平分,只要得到。

(1)設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,

,曲線的方程為.  ………………2分       

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,  ………………3分   

代入曲線的方程,可得 ,……5分            

,∴,

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn).(也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論)

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ,則,   

要使軸平分,只要,            ………………9分

,        ………………10分

也就是,

,即只要  ………………12分  

當(dāng)時(shí),(*)對(duì)任意的s都成立,從而總能被軸平分.

所以在x軸上存在定點(diǎn),使得總能被軸平分

 

查看答案和解析>>

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)是否存過點(diǎn)(2,1)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為,由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得

因?yàn)橹本與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

所以

所以.解得。

解:⑴設(shè)橢圓的方程為,由題意得

解得,故橢圓的方程為.……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為,代入橢圓的方程得

因?yàn)橹本與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

所以

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">,即,

所以

所以,解得

因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn),所以k=1/2.

于是存在直線L1滿足條件,其方程為y=1/2x

 

查看答案和解析>>

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓C;其長軸長等于4,離心率為

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且?若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

第二問中,

假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得

代入1,2式中得到范圍。

(Ⅰ) 可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,

又由于 

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

 (Ⅱ) 假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),MN的中點(diǎn)為

 因?yàn)閨ME|=|NE|所以MNEF所以

(i)其中若時(shí),則K=0,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

,得,

,得……②  ……………………9分

代入①式得,解得………………………………………12分

代入②式得,得

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率k的取值范圍是

 

查看答案和解析>>

已知曲線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離之比為常數(shù)

(1)求曲線的軌跡方程;

(2)若過點(diǎn)引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)平分,求弦AB所在的直線方程;

(3)以曲線的左頂點(diǎn)為圓心作圓,設(shè)圓與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn),求的最小值,并求此時(shí)圓的方程.

【解析】第一問利用(1)過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為D.

代入坐標(biāo)得到

第二問當(dāng)斜率k不存在時(shí),檢驗(yàn)得不符合要求;

當(dāng)直線l的斜率為k時(shí),;,化簡得

第三問點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于X軸對(duì)稱,設(shè),, 不妨設(shè)

由于點(diǎn)M在橢圓C上,所以

由已知,則

,

由于,故當(dāng)時(shí),取得最小值為

計(jì)算得,,故,又點(diǎn)在圓上,代入圓的方程得到.  

故圓T的方程為:

 

查看答案和解析>>


同步練習(xí)冊(cè)答案