已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切。

（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直線l₂垂直于l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；

（Ⅲ）設(shè)C₂與x軸交于點(diǎn)Q，不同的兩點(diǎn)R、S在C₂上，且 滿足，求的取值范圍。

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（I）求橢圓的方程；

（II）若過點(diǎn)（2，0）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)＜ 時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

第一問中，利用

第二問中，利用直線與橢圓聯(lián)系，可知得到一元二次方程中，可得k的范圍，然后利用向量的＜不等式，表示得到t的范圍。

解：（1）由題意知

已知橢圓的離心率為以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸交于定點(diǎn)Q；

 （III）在（II）條件下，過點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍。

已知橢圓的離心率為以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。

   （I）求橢圓C的方程；

   （II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸交于定點(diǎn)Q；

 （III）在（II）條件下，過點(diǎn)Q的直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍。

    已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。

    （1）求橢圓C的方程；

    （2）求的取值范圍；

    （3）若B點(diǎn)在于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。