題目列表(包括答案和解析)
(08年重慶一中一模理)在正四面體中,二面角
的余弦值為( )
(A) (B)
(C)
(D)
正方體中
,
為
的中點(diǎn).
(1)請(qǐng)?jiān)诰段上確定一點(diǎn)F使
四點(diǎn)共面,并加以證明;
(2)求二面角的平面角
的余弦值;
(3)點(diǎn)M在面內(nèi),且點(diǎn)M在平面
上的射影恰為
的重心,求異面直線
與
所成角的余弦值.
V1 | V |
一、DDBCD CABCA
二、11.1;
12.; 13.
14.
; 15.
;
16.
三.解答題(本大題共6小題,共76分)
17.解:(1)法一:由題可得;
法二:由題,
故,從而
;
法三:由題,解得
,
故,從而
。
(2),令
,
則,
在
單調(diào)遞減,
故,
從而的值域?yàn)?sub>
。
18.解:(1)的可能取值為0,1,2,3,4,
,
,
,
,
。
因此隨機(jī)變量的分布列為下表所示;
0
1
2
3
4
(2)由⑴得:,
19.法一:(1)連接,設(shè)
,則
。
因?yàn)?sub>,所以
,故
,從而
,
故。
又因?yàn)?sub>,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)
取等號(hào)。
此時(shí)為
邊的中點(diǎn),
為
邊的中點(diǎn)。
故當(dāng)為
邊的中點(diǎn)時(shí),
的長(zhǎng)度最小,其值為
(2)連接,因?yàn)榇藭r(shí)
分別為
的中點(diǎn),
故,所以
均為直角三角形,
從而,所以
即為直線
與平面
所成的角。
因?yàn)?sub>,所以
即為所求;
(3)因,又
,所以
。
又,故三棱錐
的表面積為
。
因?yàn)槿忮F的體積
,
所以。
法二:(1)因,故
。
設(shè),則
。
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。此時(shí)
為
邊的中點(diǎn)。
故當(dāng)為
的中點(diǎn)時(shí),
的長(zhǎng)度最小,其值為
;
(2)因,又
,所以
。
記點(diǎn)到平面
的距離為
,
因,故
,解得
。
因
,故
;
(3)同“法一”。
法三:(1)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,則
,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)
取等號(hào)。
此時(shí)為
邊的中點(diǎn),
為
邊的中點(diǎn)。
故當(dāng)為
邊的中點(diǎn)時(shí),
的長(zhǎng)度最小,其值為
;
(2)設(shè)為面
的法向量,因
,
故。取
,得
。
又因,故
。
因此,從而
,
所以;
(3)由題意可設(shè)為三棱錐
的內(nèi)切球球心,
則,可得
。
與(2)同法可得平面的一個(gè)法向量
,
又,故
,
解得。顯然
,故
。
20.解:(1)當(dāng)時(shí),
。令
得
,
故當(dāng) 時(shí)
,
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí)
,
單調(diào)遞減。
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,
單調(diào)遞減區(qū)間為;
(2)法一:因,故
。
令,
要使對(duì)滿足
的一切
成立,則
,
解得;
法二:,故
。
由可解得
。
因?yàn)?sub>在
單調(diào)遞減,因此
在
單調(diào)遞增,故
。設(shè)
,
則,因?yàn)?sub>
,
所以,從而
在
單調(diào)遞減,
故。因此
,即
。
(3)因?yàn)?sub>,所以
即對(duì)一切
恒成立。
,令
,
則。因?yàn)?sub>
,所以
,
故在
單調(diào)遞增,有
。
因此,從而
。
所以。
21.解:(1)設(shè),則由題
,
由得
,故
。
又根據(jù)可得
,
即,代入可得
,
解得(舍負(fù))。故
的方程為
;
(2)法一:設(shè),代入
得
,
故,
從而
因此。
法二:顯然點(diǎn)是拋物線
的焦點(diǎn),點(diǎn)
是其準(zhǔn)線
上一點(diǎn)。
設(shè)為
的中點(diǎn),過(guò)
分別作
的垂線,垂足分別為
,
則。
因此以為直徑的圓與準(zhǔn)線
相切(于點(diǎn)
)。
若與
重合,則
。否則點(diǎn)
在
外,因此
。
綜上知。
22.證明:(1)因,故
。
顯然,因此數(shù)列
是以
為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;
(2)由⑴知,解得
;
(3)因?yàn)?/p>
所以。
又(當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào)),
故。
綜上可得。(亦可用數(shù)學(xué)歸納法)
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