(Ⅱ)過橢圓C1上一點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA.PB.A.B為切點(diǎn).直線AB分別與x軸.y軸交于點(diǎn)M.N．求△MON面積的最小值．． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知可行域的外接圓C與軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率

（Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程；

（Ⅱ）過橢圓C1上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）．

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已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)F重合，點(diǎn)M是C1與C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|MF|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，過E任作一條直線l，l與橢圓C1的兩個交點(diǎn)記為A，B．問：在橢圓的長軸上是否存在一點(diǎn)P，使
PA
•
PB
為定值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由．

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（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C1：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn) 
（1）證明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓或雙曲線C2過A、B兩點(diǎn)，求曲線C1和C2的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C2的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段AB上有兩點(diǎn)C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F1 F2上是否存在一點(diǎn)P，使PD=
11
，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空題

13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

16. 　　　　　　１７．45o  　　　　　　　�。保福�

三、解答題

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因?yàn)?sub>，所以，所以，

即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以

又因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中點(diǎn)，連接，

由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，

所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨設(shè)，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）（方法一）

過點(diǎn)作的垂線交于，連接.

因?yàn)?sub>，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

 

因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數(shù)的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望為，所以，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列為

0

1

2

3

P

                                                          ┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =                                

答：紅球的個數(shù)為2，的數(shù)學(xué)期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，

∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C1的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，    

同理PB的方程為                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時過P點(diǎn)，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，

∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

      從而得到、

所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

當(dāng)且僅當(dāng).           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）

 

 

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①當(dāng)，即，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當(dāng)，即，當(dāng)時，在上有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當(dāng)，即

當(dāng)時，函數(shù)對稱軸在y軸左側(cè)，且，所以在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分

當(dāng)時，函數(shù)對稱軸在右側(cè)，且，

兩個根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；在上有，即在單調(diào)遞減.

綜上：時，在單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時，有極大值，極小值，所以

，又因?yàn)?sub>，

┅┅┅１2分

所以

=

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