已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問，利用函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數(shù)∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數(shù)求導數(shù)，判定單調(diào)性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，＋∞)單調(diào)遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

設a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點Q₁的橫坐標為a₁（0＜a₁＜a）．從C上的點Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點P_n+1，再從點P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構(gòu)成數(shù)列{a_n}．
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關(guān)系，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a=1，a1≤

1

2

時，證明

n

k=1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

32

；
（Ⅲ）當a=1時，證明

n

k-1

(ak-ak+1)ak+2＜

1

3

．．

點P_n（x_n，y_n）在曲線C：y=e^-x上，曲線C在點P_n處的切線l_n與x軸相交于點Q_n（x_n+1，0），直線t_n+1：x=x_n+1與曲線C相交于點P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲線C和直線l_n，t_n+1圍成的圖形面積記為S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）證明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n關(guān)于n的表達式；
（Ⅲ）記數(shù)列{S_n}的前n項之和為T_n，求證：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

（n=1，2，3，…）．

設點A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和拋物線C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-

1

2n-1

，x_n由以下方法得到：x₁=1，點P₂（x₂，2）在拋物線C₁：y=x²+a₁x+b₁上，點A₁（x₁，0）到P₂的距離是A₁到C₁上點的最短距離，…，點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線C_n：y=x²+a_nx+b_n上，點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）證明{x_n}是等差數(shù)列．

如圖，過曲線C：y=e^-x上一點P₀（0，1）做曲線C的切線l₀交x軸于Q₁（x₁，0）點，又過Q₁做x軸的垂線交曲線C于P₁（x₁，y₁）點，然后再過P₁（x₁，y₁）做曲線C的切線l₁交x軸于Q₂（x₂，0），又過Q₂做x軸的垂線交曲線C于P₂（x₂，y₂），…，以此類推，過點P_n的切線l_n與x軸相交于點Q_n+1（x_n+1，0），再過點Q_n+1做x軸的垂線交曲線C于點P_n+1（x_n+1，y_n+1）（n=1，2，3，…）．
（1）求x₁、x₂及數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）設曲線C與切線l_n及垂線P_n+1Q_n+1所圍成的圖形面積為S_n，求S_n的表達式；
（3）若數(shù)列{S_n}的前n項之和為T_n，求證：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

（n∈N⁺）．