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已知拋物線C：y=－x²+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件。

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難點磁場

證明：(1）充分性：由韋達(dá)定理，得|b|=|α?β|=|α|?|β|＜2×2=4.

設(shè)f(x)=x²+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.

即有4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性：

由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.

∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內(nèi)或無實根.

∵α，β是方程f(x)=0的實根，

∴α，β同在(－2，2）內(nèi)，即|α|＜2且|β|＜2.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：若a²+b²=0,即a=b=0,此時f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x?|x|=－(x|x+0|+b)

=－(x|x+a|+b)=－f(x).

∴a²+b²=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(－x)=

(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),則必有a=b=0,即a²+b²=0.

∴a²+b²=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件.

答案：D

2.解析：若a=1,則y=cos²x－sin²x=cos2x,此時y的最小正周期為π.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos²ax－sin²ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為π,則a=±1,故a=1不是必要條件.

答案：A

二、3.解析：當(dāng)a=3時，直線l₁:3x+2y+9=0;直線l₂:3x+2y+4=0.∵l₁與l₂的A₁∶A₂=B₁∶B₂=1∶1，而C₁∶C₂=9∶4≠1,即C₁≠C₂,∴a=3l₁∥l₂.

答案：充要條件

4.解析：若P(x₀,y₀)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交點，則F(x₀,y₀)+λG(x₀,y₀)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，過P(x₀,y₀);反之不成立.

答案：充分不必要

三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=α+β,b=αβ.判定的條件是p:結(jié)論是q:(注意p中a、b滿足的前提是Δ=a²－4b≥0)

(1)由，得a=α+β>2,b=αβ>1,∴qp

(2)為證明pq,可以舉出反例：取α=4,β=,它滿足a=α+β=4+>2,b=αβ=4×=2>1,但q不成立.

綜上討論可知a>2,b>1是α>1,β>1的必要但不充分條件.

6.證明：①必要性：

設(shè){a_n}成等差數(shù)列，公差為d,∵{a_n}成等差數(shù)列.

     從而b_n+1－b_n=a₁+n?d－a₁－(n－1) d=d為常數(shù).?

    故{b_n}是等差數(shù)列，公差為d.

②充分性:

設(shè){b_n}是等差數(shù)列，公差為d′,則b_n=(n－1)d′?

∵b_n(1+2+…+n)=a₁+2a₂+…+na_n                                                                                                                                                             ①

b_n－1(1+2+…+n－1)=a₁+2a₂+…+(n－1)a_n                                                                                                                                    ②

①－②得：na_n=b_n－1?

∴a_n=,從而得a_n+1－a_n=d′為常數(shù)，故{a_n}是等差數(shù)列.

綜上所述，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列.

7.解：①必要性：

由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3)

由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點，

所以方程組^*有兩個不同的實數(shù)解.

消元得：x²－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

設(shè)f(x)=x²－(m+1)x+4,則有

②充分性：

當(dāng)3＜x≤時，

x₁=>0

∴方程x²－(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x₁,x₂,且0＜x₁＜x₂≤3,方程組*有兩組不同的實數(shù)解.

因此，拋物線y=－x²+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件3＜m≤.

8.解：若關(guān)于x的方程x²+mx+n=0有2個小于1的正根，設(shè)為x₁,x₂.

則0＜x₁＜1,0＜x₂＜1,有0＜x₁+x₂＜2且0＜x₁x₂＜1,

根據(jù)韋達(dá)定理：

有－2＜m＜0;0＜n＜1即有qp.

反之，取m=－＜0

方程x²+mx+n=0無實根，所以pq

綜上所述，p是q的必要不充分條件.