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二次函數(shù)f(x)=px²+qx+r中實數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證：
(1)pf()<0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.

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難點磁場

解：由條件知Δ≤0,即(－4a）²－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2

(1)當(dāng)－≤a＜1時，原方程化為：x=－a²+a+6,∵－a²+a+6=－(a－)²+.

∴a=－時，x_min=,a=時，x_max=.

∴≤x≤.

(2)當(dāng)1≤a≤2時，x=a²+3a+2=(a+)²－

∴當(dāng)a=1時，x_min=6,當(dāng)a=2時，x_max=12,∴6≤x≤12.

綜上所述,≤x≤12.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：當(dāng)a－2=0即a=2時,不等式為－4＜0,恒成立.∴a=2,當(dāng)a－2≠0時，則a滿足,解得－2＜a＜2,所以a的范圍是－2＜a≤2.

答案：C

2.解析：∵f(x)=x²－x+a的對稱軸為x=,且f(1)>0,則f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),

∴m－1＜0,∴f(m－1)>0.

答案：A

二、3.解析：只需f(1)=－2p²－3p+9>0或f(－1)=－2p²+p+1>0即－3＜p＜或－＜p＜1.∴p∈(－3, ).

答案：(－3，）

4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由于距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小，

∴|1－2x²－2|＜|1+2x－x²－2|,∴－2＜x＜0.

答案：－2＜x＜0

三、5.解：(1）由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,?

∴l(xiāng)og_ay=x²－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+ (x≠0),則y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

則u=(x－)²+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，則u=(x－)²+,x∈(0,2應(yīng)有最小值

∴當(dāng)x=時，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

6.解：∵f(0)=1>0

(1)當(dāng)m＜0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

(2）當(dāng)m>0時，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

7.證明：(1)

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①當(dāng)p＜0時，由(1）知f()＜0

若r>0,則f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.

②當(dāng)p＜0時同理可證.

8.解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元，

∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.