1．第II卷共8頁.用鋼筆或圓珠筆直接寫在試卷上．【查看更多】

（2013•青島）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）

十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以100，加上兩個個位數(shù)字的積，構(gòu)成運算結(jié)果

．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據(jù)題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

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（1）自主閱讀：如圖1，AD∥BC，連接AB、AC、BD、CD，則S_△ABC=S_△BCD．
證明：分別過點A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC
由AD∥BC，可得AF=DE．
又因為S_△ABC=

1

2

×BC×AF，S_△BCD=

1

2

×BC×DE
所以S_△ABC=S_△BCD
由此我們可以得到以下的結(jié)論：像圖1這樣，

同底等高的兩三角形面積相等

．
（2）結(jié)論證明：如果一條直線（線段）把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線（線段）稱為這個平面圖形的一條面積等分線（段），如，平行四變形的一條對角線就是平形四邊形的一條面積等分線段．
①如圖2，梯形ABCD中AB∥DC，連接AC，過點B作BE∥AC，交DC延長線于點E，連接點A和DE的中點P，則AP即為梯形ABCD的面積等分線段，請你寫出這個結(jié)論成立的理由：
②如圖3，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S_△ADC＞S_△ABC，過點A能否做出四邊形ABCD的面積等分線（段）？若能，請畫出面積等分線（用鋼筆或圓珠筆畫圖，不用寫作法），不要證明

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在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？

幾何建模：

用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：

（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。

（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果。

歸納提煉：

兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） .

【研究方程】

提出問題：怎么圖解一元二次方程

幾何建模：

（1）變形：

（2）畫四個長為，寬為的矩形，構(gòu)造圖④

（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，或四個長，寬的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積

即：

∵

∴

∵

∴

歸納提煉：求關于的一元二次方程的解

要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）

【研究不等關系】

提出問題：怎么運用矩形面積表示與的大小關系（其中）？

幾何建模：

（1）畫長，寬的矩形，按圖⑤方式分割

（2）變形：

（3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為；陰影部分面積可以表示為，

畫點部分的面積可表示為，由圖形的部分與整體的關系可知：＞，即

＞

歸納提煉：

當，時，表示與的大小關系

根據(jù)題意，設，，要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標注相關線段的長）

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在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據(jù)題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

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在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長）
【研究不等關系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關系．
根據(jù)題意，設a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長）

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