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題目列表(包括答案和解析)

由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式．對于cos3x，我們有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)n次多項(xiàng)式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），這些多項(xiàng)式Pn（t）稱為切比雪夫多項(xiàng)式．
（I）求證：sin3x=3sinx-4sin3x；
（II）請求出P4（t），即用一個(gè)cosx的四次多項(xiàng)式來表示cos4x；
（III）利用結(jié)論cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．

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可以證明，對任意的n∈N*，有（1+2+…+n）2=13+23+…+n3成立．下面嘗試推廣該命題：
（1）設(shè)由三項(xiàng)組成的數(shù)列a1，a2，a3每項(xiàng)均非零，且對任意的n∈{1，2，3}有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，求所有滿足條件的數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}每項(xiàng)均非零，且對任意的n∈N*有（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3成立，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．求證：an+12-an+1=2Sn，n∈N*；
（3）是否存在滿足（2）中條件的無窮數(shù)列{an}，使得a2011=2009？若存在，寫出一個(gè)這樣的無窮數(shù)列（不需要證明它滿足條件）； 若不存在，說明理由．

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由某種設(shè)備的使用年限xi（年）與所支出的維修費(fèi)yi（萬元）的數(shù)據(jù)資料，算得
5
i=1
x
2
i
=90，
5
i=1
xiyi=112，
5
i=1
xi=20，
5
i=1
yi=25．
（Ⅰ）求所支出的維修費(fèi)y對使用年限x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（Ⅲ）估計(jì)使用年限為8年時(shí)，支出的維修費(fèi)約是多少．
附：在線性回歸方程y=bx+a中，b=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
-2
x
，a=
.
y
-b
.
x
，其中
.
x
，
.
y
為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為
y
=
b
x+
a
．

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由某種設(shè)備的使用年限（年）與所支出的維修費(fèi)（萬元）的數(shù)據(jù)資料，算得，，， ．

（Ⅰ）求所支出的維修費(fèi)對使用年限的線性回歸方程；

（Ⅱ）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；

（Ⅲ）估計(jì)使用年限為8年時(shí)，支出的維修費(fèi)約是多少．

附：在線性回歸方程中，，，其中，為

樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．

 

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由于工業(yè)化城鎮(zhèn)化的推進(jìn)，大氣污染日益加重，空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣頻率增大，大氣污染可引起心悸、胸悶等心臟病癥狀.為了解某市患心臟病是否與性別有關(guān)，在某醫(yī)院心血管科隨機(jī)的對入院50位進(jìn)行調(diào)查得到了如下列聯(lián)表：問有多大的把握認(rèn)為是否患心臟病與性別有關(guān). 答：．

A．95% B．99%C．99.5% D．99.9%
 
患心臟病
不患心臟病
合計(jì)
男
20
5
25
女
10
15
25
合計(jì)
30
20
50
 
參考臨界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（參考公式： 其中n =" a" + b + c + d）．

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