題目列表(包括答案和解析)
汕頭二中擬建一座長(zhǎng)米,寬米的長(zhǎng)方形體育館.按照建筑要求,每隔米(,為正常數(shù))需打建一個(gè)樁位,每個(gè)樁位需花費(fèi)萬(wàn)元(樁位視為一點(diǎn)且打在長(zhǎng)方形的邊上),樁位之間的米墻面需花萬(wàn)元,在不計(jì)地板和天花板的情況下,當(dāng)為何值時(shí),所需總費(fèi)用最少?
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。先求需打個(gè)樁位.再求解墻面所需費(fèi)用為:,最后表示總費(fèi)用,利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性,求解最值。
解:由題意可知,需打個(gè)樁位. …………………2分
墻面所需費(fèi)用為:,……4分
∴所需總費(fèi)用()…7分
令,則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴當(dāng)時(shí),取極小值為.而在內(nèi)極值點(diǎn)唯一,所以.∴當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),即每隔3米打建一個(gè)樁位時(shí),所需總費(fèi)用最小為1170萬(wàn)元.
已知遞增等差數(shù)列滿(mǎn)足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對(duì)任意恒成立,試猜想出實(shí)數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用以及數(shù)列求和的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項(xiàng)公式,第二問(wèn)中,不等式等價(jià)于,利用當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價(jià)于,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對(duì)任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí),,成立.
假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,
當(dāng)時(shí),, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對(duì)任意,不等式恒成立.…14分
方法二:?jiǎn)握{(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式, …………10分
, …………12分
所以對(duì),都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
已知m>1,直線(xiàn),橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△A、△B的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線(xiàn)段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問(wèn)中因?yàn)橹本(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,0),所以=,得.又因?yàn)閙>1,所以,故直線(xiàn)的方程為
第二問(wèn)中設(shè),由,消去x,得,
則由,知<8,且有
由題意知O為的中點(diǎn).由可知從而,設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M().
由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍
若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿(mǎn)足在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911405226518211/SYS201207091141332182286905_ST.files/image002.png">,則稱(chēng)這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】第一問(wèn)中,利用定義,判定由題意得,由,所以
第二問(wèn)中, 由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn),從而得到t的范圍。
解(I)由題意得,由,所以 (6分)
(II)由題意得方程有兩實(shí)根
設(shè)所以關(guān)于m的方程在有兩實(shí)根,
即函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)。
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