題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
(III)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M(t),最小值為m(t),記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3,-1]上的最小值。
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí).考查函數(shù)思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.
求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解題思路】根據(jù)通項(xiàng)公式,通過觀察、分析、研究,可以分解通項(xiàng)公式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng),達(dá)到求和的目的.
已知橢圓(a>b>0),點(diǎn)在橢圓上。
(I)求橢圓的離心率。
(II)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值。
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.
(本小題滿分10分)
中,為邊上的一點(diǎn),,,,求.
【命題意圖】本試題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和差公式和正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況.
已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是
A.NM B.M∪N=M C.M∩N=N D.M∩N={2}
【解析】顯然A,B,C錯(cuò),D正確;
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 10. 11.5 10 12.
13.② 14.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因?yàn)?sub>,
所以,
所以,
因此,即的取值范圍為.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié).
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中點(diǎn).連結(jié).
,.
是在平面內(nèi)的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
過作,垂足為.
平面平面,
平面.
的長即為點(diǎn)到平面的距離.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
點(diǎn)到平面的距離為.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
則.
設(shè).
,
,.
取中點(diǎn),連結(jié).
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ),
在平面內(nèi)的射影為正的中心,且的長為點(diǎn)到平面的距離.
如(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系.
,
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
.
點(diǎn)到平面的距離為.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件,那么,
即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅱ)記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件,那么,
所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅲ)隨機(jī)變量可能取的值為1,2.事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù),
則.
所以,的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得.
當(dāng),即時(shí),的變化情況如下表:
0
當(dāng),即時(shí),的變化情況如下表:
0
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當(dāng),即時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為.
因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形,所以.
于是可設(shè)直線的方程為.
由得.
因?yàn)?sub>在橢圓上,
所以,解得.
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
則,,,.
所以.
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由四邊形為菱形可知,點(diǎn)在直線上,
所以,解得.
所以直線的方程為,即.
(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形,且,
所以.
所以菱形的面積.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當(dāng)時(shí),菱形的面積取得最大值.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:,
,
;
,
.
(Ⅱ)證明:設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為,
則為,,,,,
從而
.
又,
所以
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