3分
18.(I)證明:由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。
可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則 2分
由 1分
又平面BDF,
平面BDF。 2分
(Ⅱ)解:設(shè)異面直線CM與FD所成角的大小為
。
即異面直線CM與FD所成角的大小為
3分
(III)解:平面ADF,
平面ADF的法向量為 1分
設(shè)平面BDF的法向量為
由
1分
1分
由圖可知二面角A―DF―B的大小為
1分
19.解:(I)設(shè)該小組中有n個女生,根據(jù)題意,得
解得n=6,n=4(舍去)
該小組中有6個女生。 5分
(II)由題意,的取值為0,1,2,3。 1分
4分
的分布列為:
0
1
2
3
P
…………1分
3分
20.解:(I)到漸近線=0的距離為,兩條準(zhǔn)線之間的距離為1,
3分
1分
(II)由題意,知直線AB的斜率必存在。
設(shè)直線AB的方程為
由,
顯然
2分
由雙曲線和□ABCD的對稱性,可知A與C、B與D關(guān)于原點對稱。
而 1分
點O到直線的距離
2分
1分
21.解:(I)
3分
(Ⅱ) 1分
上單調(diào)遞增;
又當(dāng)
上單調(diào)遞減。 1分
只能為的單調(diào)遞減區(qū)間,
的最小值為0。
(III)
于是函數(shù)是否存在極值點轉(zhuǎn)化為對方程內(nèi)根的討論。
而
1分
①當(dāng)
此時有且只有一個實根
存在極小值點 1分
②當(dāng)
當(dāng)單調(diào)遞減;
當(dāng)單調(diào)遞增。
1分
③當(dāng)
此時有兩個不等實根
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,
當(dāng)單調(diào)遞增,
,
存在極小值點 1分
綜上所述,對時,
存在極小值點
當(dāng)
當(dāng)存在極小值點
存在極大值點 1分
(注:本小題可用二次方程根的分布求解。)
22.(I)解:由題意, 1分
1
為首項,為公比的等比數(shù)列。
1分
1分
(Ⅱ)證明:
構(gòu)造輔助函數(shù)
單調(diào)遞增,
令
則
4分
(III)證明:
時,
(當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號)。 3分
另一方面,當(dāng)時,
(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。
(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)。
綜上所述,有 3分