題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知橢圓過(guò)點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,過(guò)點(diǎn)C(-1,0)且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓的方程;
(2)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是求直線l的斜率;
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
已知二次函數(shù)為常數(shù));.若直線1、2與函數(shù)f(x)的圖象以及1,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(Ⅰ)求、b、c的值
(Ⅱ)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式;
(Ⅲ)若問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
已知二次函數(shù)為常數(shù));.若直線1、2與函數(shù)f(x)的圖象以及1,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(Ⅰ)求、b、c的值
(Ⅱ)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式;
(Ⅲ)若問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.
(本小題滿分14分)
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足,
猜想數(shù)列的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ) 對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M>0,對(duì)任意的,恒有
,, 則稱(chēng)數(shù)列為B-數(shù)列。問(wèn)數(shù)列是B-數(shù)列嗎? 并證明你的結(jié)論。
(本小題滿分14分)已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù) N,其導(dǎo)函數(shù)記為,且滿足,其中、、為常數(shù),.設(shè)函數(shù)R且.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求m的值;
(Ⅲ)求函數(shù)在的圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率k的最大值.
一:選擇題
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案代號(hào)
C
A
A
C
C
B
A
B
二.填空題: 9 . 2 10、 11、 , 12 . 60
13、 2 14、(或) , 兩條直線 15、 16
1.C; ,
2、A; 顯然為奇函數(shù),且單調(diào)遞增。于是 若,則,有,即,從而有.
反之,若,則,推出 ,即 。故選A。
3、A; 由 , 知 ;
4、C; 0
5、C;
6、B;
, ;
7、A 把握住4,6,8三個(gè)面有一個(gè)共同的頂點(diǎn)這一個(gè)特點(diǎn)
8、B; 如下圖,設(shè),,則.
由平行四邊形法則,知NP∥AB,所以=,同理可得.故,選B.
9、2(略)
10、60; 力F(x)所作的功為
11、 從圖中看出 ,
所以選A
12、; 根據(jù)題中的信息,可以把左邊的式子歸納為從個(gè)球(n個(gè)白球,k個(gè)黑球)中取出m個(gè)球,可分為:沒(méi)有黑球,一個(gè)黑球,……,k個(gè)黑球等類(lèi),故有種取法。
13、2; 由已知得 , ,
解得
14、;兩條直線;由 ,得 , ,
,;兩條直線
15、16; 由可化為xy =8+x+y,x,y均為正實(shí)數(shù)
xy =8+x+y(當(dāng)且僅當(dāng)x=y等號(hào)成立)即xy-2-8
可解得,即xy16故xy的最小值為16。
三、解答題:
16、(本小題滿分12分)
解:
………………3分
(Ⅰ)函數(shù)的最小正周期, ………………5分
令,
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 …………7分
(Ⅱ)
---------------12分
17、(本小題滿分14分)
解: 將一顆骰子先后拋擲2次,此問(wèn)題中含有36個(gè)等可能基本事件-----------1分
(1)
記“兩數(shù)之和為
所以P(A)=;
答:兩數(shù)之和為6的概率為。--------------------------------------- 4分
(2)記“兩數(shù)之和是3的倍數(shù)”為事件B,則事件B中含有12個(gè)基本事件,
所以P(B)=;
答:兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為。-------------------------------7分
(2) 記“向上的兩數(shù)之積是6的倍數(shù)”為事件C,則事件C中含有其中的15個(gè)等可能基本事件,
所以P(C)=,
答:兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率為。-------------------------------10分
(3) 基本事件總數(shù)為36,點(diǎn)(x,y),在圓x2+y2=25的內(nèi)部記為事件D,則D包含13個(gè)事件,
所以P(D)=。
答:點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=25的內(nèi)部的概率。----------------------14分
18、(本小題滿分13分)
解:, -----------------2分
因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為-3,
所以,即,------------------------3分
又得。------------------------4分
(1)函數(shù)在時(shí)有極值,所以,-------5分
解得,------------------------------------------7分
所以.------------------------------------8分
(2)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零,------------------------------------10分
則得,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.----------------------------------13分
19、(本小題滿分13分)
解(Ⅰ)在中,,
在中,,
∵,
∴.---------------------------2分
∵平面平面,且交線為,
∴平面.
∵平面,∴.------------------------------------5分
(Ⅱ)設(shè)與相交于點(diǎn),由(Ⅰ)知,
∵,∴平面,
∵平面,∴平面平面,且交線為,---------7分
如圖19-2,作,垂足為,則平面,
連結(jié),則是直線與平面所成的角.-------------------9分
由平面幾何的知識(shí)可知,∴.--------------11分
在中,,
在中,,可求得.∴.
------------------------------------------------------------------------13分
20、(本題滿分14分)
【解析】(I)因?yàn)?sub>邊所在直線的方程為,且與垂直,
所以直線的斜率為.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,
所以邊所在直線的方程為..-----------------3分
(II)由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為, ------------4分
因?yàn)榫匦?sub>兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為.
所以為矩形外接圓的圓心. -----------------6分
又.
從而矩形外接圓的方程為.----------------------9分
(III)因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn),所以是該圓的半徑,又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切,
所以,即.------------------------11分
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支.
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng),半焦距.
所以虛半軸長(zhǎng).
從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為. -----------------14分
21、(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由題意 即
∴ ……………………2分
∴ ∵m>0且,∴m2為非零常數(shù),
∴數(shù)列{an}是以m4為首項(xiàng),m2為公比的等比數(shù)列 …………4分
(Ⅱ)由題意,
當(dāng)
∴ ① …………6分
①式兩端同乘以2,得
② …………7分
②-①并整理,得
=
-----------------------------------------------10分
(Ⅲ)由題意
要使對(duì)一切成立,
即 對(duì)一切 成立,
①當(dāng)m>1時(shí), 成立; …………12分
②當(dāng)0<m<1時(shí),
∴對(duì)一切 成立,只需,
解得 , 考慮到0<m<1, ∴0<m<
綜上,當(dāng)0<m<或m>1時(shí),數(shù)列{cn }中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng). ----------14分
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