∵CF=CP=1, ∠C=60⁰.    ∴△FCP是正三角形，∴PF=1.

又A₁E=1,在Rt△A₁EQ ,tan∠EA₁Q=,∴∠EA₁Q=60⁰.

所以直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60⁰…………………8分

(III)在圖3中，過F作FM⊥A₁P于M，連結QM，QF.

又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A1P，∴Q為BP的中點，且EQ=

∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD…………2分

在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角

由題設條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE.

又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP……….4分

(II)在圖2中，∵A₁E不垂直于A₁B，∴A₁E是平面A₁BP的斜線.

又A₁E⊥平面BEP, ∴A₁E⊥BP,

從而BP垂直于A₁E在平面A₁BP內的射影（三垂線定理的逆定理）.

設A₁E在平面A₁BP內的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點Q，則

∠EA₁Q就是A₁E與平面A₁BP所成的角，…………………6分

且BP⊥A₁Q.

在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60⁰，  ∴△EBP是等邊三角形，∴BE=EP.

∵AEEB=CFFA=12，∴AF=AD=2，而∠A=60⁰,

19.不妨設正三角形ABC 的邊長為 3 .

(I)在圖1中，取BE的中點D，連結DF.

則．                  ……………………12分

…………………10分