3．設(shè)命題甲為:
;命題乙為:
;則甲是乙的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.
2．函數(shù)
的定義域?yàn)椤 ?( )
A．(1，2)∪(2，3) B．
C．(1，3) D．[1，3]
1、不等式
解集是( )
A (0,2) B (2,+∞) C 
D (－∞,0)∪(2,+∞)
(二)特別提示：
1．在使用公式a
+b≥2ab和
≥
時(shí)，要注意這兩者成立的條件
是不相同的，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù)．
2．在使用二元均值定理求最值時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①在所求最值的代
數(shù)式中，各變數(shù)均應(yīng)是正數(shù)(如不是，則進(jìn)行變號轉(zhuǎn)換)；②各變數(shù)的和或積必須為常數(shù)，以確保不等式一邊為定值(如不是，則進(jìn)行拆項(xiàng)或分解，務(wù)必使不等式的一端的和或積為常數(shù))；③各變數(shù)有相等的可能(即相等時(shí)，變量字母有實(shí)數(shù)解，且在定義域內(nèi)，如無，則說明拆項(xiàng)、分解不當(dāng)，此時(shí)，應(yīng)重新拆項(xiàng)、分解或改用其它方法，比如，已知x
[2，3]，求函數(shù)y = x+
的最小值，從形式上看可以使用二元均值定理，但等號成立的條件不具備，因此，要考慮函數(shù)的單調(diào)性把問題解決)．
3．在使用均值定理證明問題時(shí)，要注意它們反復(fù)使用后，再相加相乘時(shí)字
母應(yīng)滿足的條件及多次使用后等號成立的條件是否一致，若不一致，則不等式中的等號不能成立．
例11．有一組數(shù)據(jù)：
它們的算術(shù)平均值為10，若去掉其中最大的一個(gè)，余下的數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為9；若去掉其中最小的一個(gè)，余下數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值為11．(Ⅰ)求出第一個(gè)數(shù)
關(guān)于n的表達(dá)式及第n個(gè)數(shù)
關(guān)于n的表達(dá)式，(Ⅱ)若
都是正整數(shù)，試求第n個(gè)數(shù)的最大值，并舉出滿足題目要求且取到最大值的一組數(shù)據(jù)．
解：依條件：
(Ⅰ)由(1)－(2)得：
再(1)－(3)得：x1=11－n．
(Ⅱ)∵x1是正整數(shù)，∴x1=11－n≥1，
，∴xn=n+9≤19．
當(dāng)n=10時(shí)，
．
此時(shí)，取
即可，
∴當(dāng)n=10時(shí)，xn的最大值是19．
點(diǎn)評：注意掌握均值不等式成立的條件及其變形；注意掌握“湊”的技巧，創(chuàng)造應(yīng)用均值不等式的情境；注意掌握均值不等式等號成立的條件．
例12．(山東省聊城市2007-2008學(xué)年度第一學(xué)期高三期末統(tǒng)考)某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，第一年共支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設(shè)
表示前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入一前n年的總支出一投資額)．(1)該廠從第幾年開始盈利？(2)若干年后，投資商為開發(fā)新項(xiàng)目，對該廠有兩種處理方案：①年平均純利潤達(dá)到最大時(shí)，以48萬元出售該廠；②純利潤總和達(dá)到最大時(shí)，以16萬元出售該廠，問哪種方案更合算？
解：由題意知
(1)由
，
由
知，從經(jīng)三年開始盈利．
(2)方案①：年平均純利潤
，當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號成立．
故方案①共獲利6×16+48=144(萬元)，此時(shí)n=6．
方案②：
當(dāng)n=10，
故方案②共獲利128+16、144(萬元)．
比較兩種方案，獲利都是144萬元，但由于第①種方案只需6年，而第②種方案需10年，故選擇第①種方案更合算．
點(diǎn)評：不等式的應(yīng)用問題，綜合性強(qiáng)，是高考應(yīng)用命題的重點(diǎn)之一，不等式的應(yīng)用題大部分以函數(shù)的面目出現(xiàn)，在解決范圍問題或求最值時(shí)，均值不等式為主要工具，從而解決實(shí)際問題。解題步驟：1、先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為函數(shù)；2、建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題；3、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；4、正確寫出答案．
考點(diǎn)五：不等式證明問題
作差比較法的程序是:作差---變形----判斷差的正負(fù)；作商比較法的程序是:作商------變形------判斷商與1的大小(商式的分子分母均要為正)．
綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的方法。分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述．
例13．(山東省濰坊市2008年5月高三教學(xué)質(zhì)量檢測) 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的
等比數(shù)列{an}，公比q>1，且滿足a2a4=64，a3+2是a2，a4的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)
，試比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論．
解：(1)
的等差中項(xiàng)，
解得q=2或
(舍去)，
(2)由(1)得
，當(dāng)n=1時(shí)，A1=2，B1=(1+1)2=4，A1<B1；當(dāng)n=2時(shí)，A2=6，B2=(2+1)2=9，A2<B2；當(dāng)n=3時(shí)，A3=14，B3=(3+1)2=16，A3<B3；當(dāng)n=4時(shí)，A4=30，B4=(4+1)2=25，A4>B4；
由上可猜想，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，An<Bn；當(dāng)n≥4時(shí)，An>Bn．
下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：①當(dāng)n=4時(shí)，已驗(yàn)證不等式成立．
②假設(shè)n=k(k≥4)時(shí)，Ak>Bk成立，即
,
即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立，由①②知，當(dāng)
綜上，當(dāng)
時(shí)，An<Bn；當(dāng)
點(diǎn)評：本題是用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式的，實(shí)際上運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等．
例13．(福建省八閩高中2008年教學(xué)協(xié)作組織聯(lián)考)設(shè)數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，已知
，且
.(I)求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；(II)
的大小關(guān)系，并給出證明．
解：(I)∵，∴
，
∴
，又∵
．
(II)∵
，∴
，∴
…………… 10分
點(diǎn)評：本題是用放縮法證明不等式．所謂放縮法，就是針對不等式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用不等式及有關(guān)的性質(zhì)，對所證明的不等式的一邊進(jìn)行放大或縮小或兩邊放大縮小同時(shí)兼而進(jìn)行，似達(dá)到證明結(jié)果的方法。但無論是放大還是縮小都要遵循不等式傳遞性法則，保證放大還是縮小的連續(xù)性，不能牽強(qiáng)附會(huì)，須做到步步有據(jù)．比如：證a＜b，可先證a＜h1，成立，而h1＜b又是可證的，故命題得證．
利用放縮法證明不等式，既要掌握放縮法的基本方法和技巧，又須熟練不等式的性質(zhì)和其他證法。做到放大或縮小恰到好處，才有利于問題的解決�，F(xiàn)舉例說明用放縮法證明不等式的幾種常用方法．
例14．(江蘇省鹽城中學(xué)2008年高三上學(xué)期第二次調(diào)研測試題)已知a>0，b>0，c>0，abc=1，試證明：
．
證明：由
，所以
同理：
， 
相加得：左³
．
點(diǎn)評：本題是用的基本不等式的變形來處理的．
例15．(山東省文登三中2009屆高三第三次月考試題)已知函數(shù)
的圖象經(jīng)過原點(diǎn)．(Ⅰ)若
、
、
成等差數(shù)列，求
的值；(Ⅱ)若
，三個(gè)正數(shù)
、
、
成等比數(shù)列，
．
證明：(Ⅰ)由
，得
，
，
，又
成等差數(shù)列，
即：
即：
，解之得：
或
，
經(jīng)檢驗(yàn)，是增根，∴．
(Ⅱ)證明：
，
時(shí)等號成立．
此時(shí)
即：
。
例16．(福建德化一中2008年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù),當(dāng)
時(shí), 
(其中e是自然界對數(shù)的底, 
),(1) 求的解析式；(2) 設(shè)
，求證：當(dāng)
，
時(shí)，
；(3)是否存在負(fù)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請說明理由．
解：(1)設(shè)
，則
，所以
，又因?yàn)?sub>是定義在
上的奇函數(shù)，所以
故函數(shù)的解析式為
(2)證明：當(dāng)且時(shí)，
，設(shè)
，因?yàn)?sub>
，所以當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)單調(diào)遞增，所以
，又因?yàn)?sub>
，所以當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)
單調(diào)遞減，所以
所以當(dāng)時(shí)，
即．
(3)解：假設(shè)存在負(fù)數(shù)
，使得當(dāng)時(shí)，
有最小值是3，則
．
①當(dāng)
，由于，則
，故函數(shù) 是
上的增函數(shù)．
所以
，解得
(舍去)
②當(dāng)
時(shí)，則
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．
所以
，解得
滿足題意。
綜上可知，存在負(fù)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值3．
點(diǎn)評：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)知識來解決的．函數(shù)和不等式是密切相關(guān)的，不等式可視為兩個(gè)函數(shù)值大小的比較，在處理不等式的有關(guān)問題時(shí)，注意運(yùn)用函數(shù)思想作指導(dǎo)，即研究題設(shè)所提供的信息，通過觀察分析，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以研究，往往能是問題獲得新穎別致，簡捷明快的解答．
例17．(浙江省余姚中學(xué)08-09學(xué)年上學(xué)期高三第三次質(zhì)量檢測)設(shè)函數(shù)
求證：(1)
；(2)函數(shù)在區(qū)間(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)設(shè)
是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則
證明：(1)
，
．又
，
，又2c=－3a－2b 由3a＞2c＞2b ∴3a＞－3a－2b＞2b，∵a＞0 
．
(2)∵f(0)=c，f(2)=4a+2b+c=a－c
①當(dāng)c＞0時(shí)，∵a＞0，∴f(0)=c＞0且
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)
②當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0 
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，
綜合①②得f(x)在(0，2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
(3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則
的兩根，∴
，
，
．
點(diǎn)評：本題是利用不等式的性質(zhì)和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來求解．
考點(diǎn)五：與不等式交匯的問題
不等式幾乎能與所有數(shù)學(xué)知識建立廣泛的聯(lián)系，通常以不等式與函數(shù)、三角、向量、數(shù)列、解析幾何、數(shù)列的綜合問題的形式出現(xiàn)，尤其是以導(dǎo)數(shù)或向量為背景的導(dǎo)數(shù)(或向量)、不等式、函數(shù)的綜合題和有關(guān)不等式的證明或性質(zhì)的代數(shù)邏輯推理題，問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求較高，下面舉例說明：
1．以集合為背景的不等式
以集合為背景的不等式，以考查不等式的解法和集合的有關(guān)概念與運(yùn)算為目的，解題時(shí)應(yīng)注意將不等式的解法與集合的有關(guān)概念和運(yùn)算相結(jié)合，準(zhǔn)確解題．
例17．(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)已知集合
，全集為實(shí)數(shù)集R．(1)求
；
(2)如果
的取值范圍．
解：(1)
，
．
(2)如圖
當(dāng)a>3時(shí)，A
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查集合的運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合的思想．
2．以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式
例18．(山東省萊蕪市2008屆高三年級期末考試)電視臺(tái)某廣告公司特約播放兩部片集，其中片集甲每片播放時(shí)間為20分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為60萬；片集乙每片播放時(shí)間為10分鐘，廣告時(shí)間為1分鐘，收視觀眾為20萬，廣告公司規(guī)定每周至少有6分鐘廣告，而電視臺(tái)每周只能為該公司提供不多于86分鐘的節(jié)目時(shí)間(含廣告時(shí)間)，(1)問電視臺(tái)每周應(yīng)播放兩部片集各多少集，才能使收視觀眾最多，(2)在獲得最多收視觀眾的情況下，片集甲、乙每集可分為給廣告公司帶來的a和b(萬元)的效益，若廣告公司本周共獲得1萬元的效益，記
為效益調(diào)和指數(shù)，求效益調(diào)和指數(shù)的最小值．(取
)
解：(1)設(shè)片集甲、乙分別播放x、y集設(shè)片集甲、乙分別播放x、y集
則有
，要使收視觀眾最多，則只要Z=60x+20y最大即可.
如圖作出可行域，
易知滿足題意的最優(yōu)解為
(2，4)，
故電視臺(tái)每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收視人觀眾最多，……………7分
(2)由題意得：2a+4b=1
=11.64．
所以效益調(diào)和指數(shù)的最小值為11.64．
點(diǎn)評：以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式，重在考查數(shù)形結(jié)合的解題能力．這種題目解題時(shí)要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形分析求解．
3．以簡易邏輯為背景的不等式
以簡易邏輯為背景的不等式,解題時(shí)往往以不等式為工具，來確定命題，用簡易邏輯知識解決問題．
例19．(2006 年山東卷)設(shè)
，則
是
的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解： 由題設(shè)可得：
故選A．
點(diǎn)評：本題主要考查利用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力．
4．與函數(shù)知識結(jié)合的不等式
例20．(2008年泉州一中高中畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù)
.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)
時(shí)，不等式f (x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若關(guān)于x的方程
在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-1, +∞)，∵ 
，由
，得x>0；由
，得
.
∴ f (x)的遞增區(qū)間是
，遞減區(qū)間是(-1, 0).
(2)∵ 由
，得x=0,x=-2(舍去)
由(Ⅰ)知f (x)在
上遞減，在
上遞增.
又 
， 
, 且
.
∴ 當(dāng)時(shí)，f (x)的最大值為
.
故當(dāng)
時(shí)，不等式f (x)<m恒成立.
(3)方程, 
.
記
,
∵ 
,
由
,得x>1或x<-1(舍去). 由
, 得
.
∴ g(x)在[0,1]上遞減, 在[1,2]上遞增.
為使方程在區(qū)間[0, 2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，
只須g(x)=0在[0,1]和
上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根,于是有
∵ 
,
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是 
.
點(diǎn)評：與函數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式為工具，結(jié)合函數(shù)知識，通過推理來解決問題．
5.與平面向量知識結(jié)合的不等式
與平面向量知識結(jié)合的不等式,解題時(shí)往往以不等式為工具, 結(jié)合平面向量知識和坐標(biāo)運(yùn)算,通過和坐標(biāo)運(yùn)算和推理來解決問題.
例21．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則
的最小值是
.
解法一：如圖,
=
即
的最小值為:－2.
解法二：選取如圖等腰直角三角形ABC，由斜邊上的中線AM=2，
則A(0,0) ,B(2
,0), C(0,2
,
M(
,
設(shè)O(x,y), (且x=y, x
)，則
=(
=
=
.
設(shè)f(x)=4x2-4
,
,結(jié)合二次函數(shù)圖像知:當(dāng)x=
時(shí), f(x)min=4
點(diǎn)評：本題考查了向量與解析幾何知識交匯問題，可利用向量的性質(zhì)結(jié)合均值不等式知識綜合求解；或者選取特殊三角形，把向量式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)求出其最小值．
6．與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式
與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具， 結(jié)合函數(shù)知識,通過推理來解決問題．
例22．(山東省淄博市2008年5月高三模擬試題)已知函數(shù)
在
是增函數(shù),
在(0,1)為減函數(shù)．(I)求
、
的表達(dá)式；
(II)求證:當(dāng)
時(shí),方程
有唯一解；(III)當(dāng)
時(shí),若
在
∈
內(nèi)恒成立,求
的取值范圍．
解：(I)
，依題意
在
上恒成立
即 
在上恒成立，∵
(，∴
①
又
依題意
在
時(shí)恒成立, 即
,恒成立
∵ 
()，∴ 
②，由①、②得 
∴ 
(II)由(1)可知,方程,
設(shè)
,
令
,并由
得
解得 
令
由
列表分析:
|
|
 |
 |
 |
 |
- |
 |
+ |
 |
遞減 |
|
遞增 |
知在
處有一個(gè)最小值0，當(dāng)
時(shí),＞0
∴ 
在(0,+¥)上只有一個(gè)解
即當(dāng)x＞0時(shí),方程
有唯一解．
(III)設(shè)
則 
∴ 
在
上為減函數(shù)，∴ 
又
所以
為所求范圍．
點(diǎn)評：本小題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用，考查就數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力．
7．與數(shù)列知識結(jié)合的不等式
與數(shù)列知識結(jié)合的不等式,解題時(shí)往往以不等式和數(shù)列知識結(jié)合為工具, 結(jié)合函數(shù)知識,通過計(jì)算和推理來解決問題.
例23．(安徽省皖南八校2008屆高三第三次聯(lián)考)數(shù)列
的首項(xiàng)
=1，前項(xiàng)和為
滿足
(常數(shù)
，
)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列的公比為
，作數(shù)列
，使
，
(
2，3，4，…)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)
，若存在
，且
；
使
(
…
)
，試求的最小值．
解：(1)①，當(dāng)
時(shí)，
②
①-②得，
即
由①，
，∴
,又
符合上式，
∴
是以1為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知
，∴
()，∴
.又，即
，
，∴數(shù)列
是為1首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列．∴
，∴
．
(3)由(2)知
，則
.
∴
…
=
=
∴
，∴
.
∵
，∴
，
.
又∵，∴的最小值為7．
點(diǎn)評：本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．
8．與立幾知識結(jié)合的不等式
例25．在
中，
，
分別為
邊上的點(diǎn)，且
。沿
將
折起(記為
)，使二面角
為直二面角．⑴當(dāng)
點(diǎn)在何處時(shí)，
的長度最小，并求出最小值；⑵當(dāng)的長度最小時(shí)，求直線
與平面
所成的角
的大小；⑶當(dāng)的長度最小時(shí)，求三棱錐
的內(nèi)切球的半徑
．
解法一：⑴連接
，設(shè)
，則
。因?yàn)?sub>，所以
，故
，從而
，故
。又因?yàn)?sub>
，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)
取等號。此時(shí)
為
邊的中點(diǎn)，為
邊的中點(diǎn)。故當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長度最小，其值為
；
⑵連接
，因?yàn)榇藭r(shí)分別為的中點(diǎn)，故
，所以
均為直角三角形，從而
，所以
即為直線與平面所成的角。因?yàn)?sub>
，所以
即為所求；
⑶因，又
，所以
．又
，故三棱錐試題詳情
(一)知識梳理
1．把稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù)。因而，二元均值定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么二元均值定理還可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)
2．一般的數(shù)學(xué)中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)關(guān)系，但不能定格于某一種特殊形式，因此不等式a+b≥2ab的形式可以是a≥2ab－b，也可以是ab≤
，還可以是a+
≥2b (a＞0)，≥2b－a等。解題時(shí)不僅要利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式及公式的逆用等，以便靈活運(yùn)用．
3．盡管二元均值定理的應(yīng)用范圍極廣，推論和相關(guān)結(jié)論也很多，但其本身終究是由不等式的意義、性質(zhì)推導(dǎo)出來的．凡是用它可以獲證的不等式，均可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)證得．因此，在算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的應(yīng)用中，不可忽視不等式的意義、性質(zhì)等概念在處理有關(guān)不等式論證方面的根本作用．
4．二元均值不等式不但可以處理兩個(gè)正數(shù)的和與積結(jié)構(gòu)的不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)還可以處理兩個(gè)正數(shù)的平方和、倒數(shù)和與其它變形式的結(jié)構(gòu)，由公式a+b≥2ab和≥可以得到以下幾個(gè)重要結(jié)論：
①
a+b≥－2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a = －b時(shí)取“=”號)；
②
a+b≥2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)| a | = | b |時(shí)取“=”號)；
③
a+b≥－2|ab| (當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 0時(shí)取“=”號)；
④
≤≤≤
(a、b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號成立)．
5．二元均值不等式還能處理幾個(gè)正數(shù)的平方和與和結(jié)構(gòu)，倒數(shù)和與和結(jié)構(gòu)，根式和與和結(jié)構(gòu)及兩兩之積與和結(jié)構(gòu)等不等式問題，但在處理這些結(jié)構(gòu)型的不等式時(shí)，要注意與其它依據(jù)相結(jié)合來處理。常見結(jié)構(gòu)的不等式的處理方法歸納如下：
⑴ab+bc+ca與a+b+c型
利用(a+b+c)=
a+b+c+2ab+2bc+2ca與a+b+c≥ab+bc+
ca相結(jié)合；
⑵a+b+c與a+b+c型
利用a+b+c≥ab+bc+ca乘以2再加上a+b+c即可；
⑶
+
+
與a+b+c型
只要在⑵中每個(gè)字母開方代換即可．
6．利用均值定理可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：
⑴當(dāng)a，b都為正數(shù)，且ab為定值時(shí)，有a+b≥
(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”號，此時(shí)a+b有最小值；
⑵當(dāng)a，b都為正數(shù)，且a+b為定值時(shí)，有ab≤
(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)
a = b時(shí)取“=”號，此時(shí)ab有最大值．
以上兩類問題可簡稱為“積大和小”問題．
7．創(chuàng)設(shè)應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理使用的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊
因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件(兩數(shù)都為正)；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件(當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“=”號)，它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)．
8．二元均值定理具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和
式”的放縮功能，若所證不等式可變形成一邊為和，另一邊為積的形式，則可以考慮使用這一定理把問題轉(zhuǎn)化．其中“一正二定三相等”在解題中具有雙重功能，即對條件的制約作用，又有解題的導(dǎo)向作用．
考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)
不等式的性質(zhì)是解不等式與證明不等式的理論根據(jù)，必須透徹理解，且要注意性質(zhì)使用的條件；比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，一般用作差法，有時(shí)也可用作商法，其實(shí)質(zhì)上是不等式性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)然它也是不等式證明的一種方法．
例1．設(shè)實(shí)數(shù)
滿足下列三個(gè)條件：
；
；
。請將按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論。
解：
又因?yàn)?，所以 
.
點(diǎn)評：正確找到一個(gè)合理的解題程序，可大大提高解題速度．
例2．設(shè)
，求
的取值范圍．
解：因?yàn)?
，
，所以，
，
，則
又因?yàn)?
，所以
, 故
．
點(diǎn)評：嚴(yán)格依據(jù)不等式的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則是正確解答此類題目的保證．
例3．(寧夏銀川一中2008屆高三年級第三次模擬考試)設(shè)a∈R且a≠-
,比較
與-a的大小．
解：
-(
)=
,
當(dāng)
且
時(shí),∵ 
,∴
．
當(dāng)
時(shí), ∵
,∴=．
當(dāng)
時(shí),∵ 
,∴
.
點(diǎn)評：比較大小的常用方法是：作差比較與作商比較．在數(shù)的比較大小過程中，要遵循這樣的規(guī)律，異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分，再去比較它們剩余部分，就會(huì)很輕易啦．一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法，前者和零比較，后者和1比較大��；(2)找中間量,往往是1，在這些數(shù)中，有的比1大，有的比1��；(3)計(jì)算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等．
考點(diǎn)二：含參數(shù)的不等式問題
含有參數(shù)的不等式問題是高考�？碱}型，求解過程中要利用不等式的性質(zhì)將不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，化為一元二次不等式等問題去解決，注意參數(shù)在轉(zhuǎn)化過程中對問題的影響．
例4．(福建德化一中2008年秋季高三第二次質(zhì)量監(jiān)控考試)已知對一切實(shí)數(shù)
都有
，且當(dāng)＞時(shí)，＜(1)證明為奇函數(shù)且是
上的減函數(shù)；(2)若關(guān)于的不等式
對一切
恒成立，求m的取值范圍.
(1)證明：依題意取
，∴
.
又取
可得
，∴
由x的任意性可知為奇函數(shù)，又設(shè)
∴
，∵
，∴
∴在R上減函數(shù)．
(2)解：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴由得
∴
即
，又∵是上的減函數(shù)，∴
恒成立，
當(dāng)時(shí)，
，故此時(shí)
的最小值為
，∴
．
點(diǎn)評：在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進(jìn)行代數(shù)變形、綜合地運(yùn)用多科知識，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解當(dāng)屬學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn).對于不等式恒成立問題，除了運(yùn)用分類討論的方法外，還可采用分離參數(shù)的方法，即對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題．
例5．(山東省泰安市2008年高三11月教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)命題p：函數(shù)
的定義域?yàn)镽；命題q：不等式
對一切正實(shí)數(shù)均成立，(1)如果p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)如果命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)若命題p為真，即
恒成立
① 當(dāng)a=0時(shí)，
不合題意 ，② 當(dāng)
時(shí)，可得
即
，
(2)令
，由
得
，
的值域?yàn)?sub>
，若命題q為真，則
．由命題“p或q”為真且“p且q”為假，得
命題p、q一真一假，① 當(dāng)p真q假時(shí)，a不存在；② 當(dāng)p假q真時(shí)，
．
．
點(diǎn)評：對于含參數(shù)問題，常常用分類討論的方法．在解答有關(guān)不等式問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、各個(gè)擊破的解題策略．有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置．解答分類討論問題的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥(沒有重復(fù))；再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．
例6．(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)已知函數(shù)
，(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；(2)當(dāng)
恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)函數(shù)
的定義域?yàn)镽，函數(shù)在R上是增函數(shù)，
設(shè)是R內(nèi)任意兩個(gè)值，并且
則
，
即
，
是R上的增函數(shù)．
(2)
，
，
，
，
即
，當(dāng)
點(diǎn)評：一般地對不等式恒成立有下列幾種情形：①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k)，④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k)．
例7．(福建省八閩高中2008年教學(xué)協(xié)作組織聯(lián)考)設(shè)
，且
(e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求p與q的關(guān)系；(2)若
在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求p的取值范圍；(3)設(shè)
且
，若在
上至少存在一點(diǎn)
，使得
成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．
解：(1) 由題意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2
Þ (p－q) (e + ) = 0. 而 e + ≠0 ， ∴ p = q，
(2) 由 (1)
知 f (x) = px－－2ln x，f1(x) = p + －= ，要使 f (x) 在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，只需 f1(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：f1(x)≥0恒成立.即
對(0,+¥) 恒成立,因此
(3) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)，∴x = e時(shí)，g(x)min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)max = 2e即 g(x)Î [2,2e]．
①0 < p < 1 時(shí)，由x Î [1,e] Þ x－≥0，∴f (x) = p (x－)－2ln x<x－－2ln x，當(dāng) p = 1 時(shí)，f (x)= x－－2ln x在 [1,e] 遞增．
∴f(x)<x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合題意．
② p≥1時(shí)，由(2)知f (x)在 [1,e] 連續(xù)遞增，f (1)= 0 < 2，又g(x) 在 [1,e]上是減函數(shù)．∴本命題Û f(x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]，
Þ f(x)max = f(e) = p(e－)－2ln e > 2 Þ p > ，
綜上，p 的取值范圍是 (,+¥).
考點(diǎn)三：解不等式問題
例8．解不等式
．
解：(第一步)將不等式左邊分解為幾個(gè)一次因式(每個(gè)因式的系數(shù)為正)，得
．
(第二步)如圖1，在實(shí)數(shù)軸上標(biāo)出每個(gè)因式為0的實(shí)根的對應(yīng)點(diǎn)．
圖1
(第三步)這四個(gè)實(shí)數(shù)根將實(shí)數(shù)軸分為五個(gè)區(qū)間．在從右到左的第一個(gè)區(qū)間
內(nèi)，每個(gè)因式均為正，故其積為正；在從右到左的第二個(gè)區(qū)間
內(nèi)，只有一個(gè)因式為負(fù)，其余因式均為正，故其積為負(fù)；在從右到左的第三個(gè)區(qū)間(1，2)內(nèi)，有兩個(gè)因式同時(shí)為負(fù)，其余因式為正，故其積為正；在從右到左的第四個(gè)區(qū)間(－1，1)內(nèi)，有三個(gè)因式均為負(fù)，其余因式為正，故其積為負(fù)；在從右到左的第五個(gè)區(qū)間
內(nèi)，四個(gè)因式同時(shí)為負(fù)，故其積為正．因此，可將其解集直觀地標(biāo)在數(shù)軸上，即用弧線從右到左(第一個(gè)區(qū)間內(nèi)弧線恒在數(shù)軸上方)，將這五個(gè)區(qū)間連結(jié)起來，弧線經(jīng)過數(shù)軸上方的區(qū)間就是這些因式的積大于0的解集；弧線經(jīng)過數(shù)軸下方的區(qū)間就是這些因式的積小于0的解集．故原不等式的解集為
．
點(diǎn)評：解實(shí)系數(shù)一元高次不等式，可先把最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，并使右邊為0，再通過因式分解，將左邊變形，最后用數(shù)軸標(biāo)根法求解集．對于分式不等式也可采類似的方法．
例9．(廣東省深圳中學(xué)2008-2009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試) 解不等式
．
解：
，
，即
，得
，
所以原不等式的解集為
．
點(diǎn)評：本題是指數(shù)型的不等式，盡可能化同底．
例10．已知
且
試解關(guān)于的不等式
解： 令
(
)
, 則原不等式
. 
即
，
故當(dāng)
時(shí)，原不等式的解集是
當(dāng)
時(shí)，原不等式的解是
.
點(diǎn)評：本題是利用換元法求解．換元法是指解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．換元法是一種重要的解題方法，它可以化高次為低次、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，它不僅在中學(xué)數(shù)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，而且在高等數(shù)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用．復(fù)習(xí)中必須給予充分的重視，有意識、有目的地加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練和運(yùn)用．
考點(diǎn)四：均值不等式問題
3．在復(fù)習(xí)不等式時(shí)，一要注意強(qiáng)化含參數(shù)不等式的解法與證明的訓(xùn)練，尤其是理科考生更應(yīng)注意到這一點(diǎn)；二要加強(qiáng)以函數(shù)為載體的不等式練習(xí)，如果以函數(shù)為背景考題出現(xiàn)在試卷上，一定與高等數(shù)學(xué)知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高；三要靈活處理以導(dǎo)數(shù)為載體的導(dǎo)數(shù)、不等式、函數(shù)大型綜合問題，這類代數(shù)推理考題在復(fù)習(xí)時(shí)一定要倍加關(guān)注．
2．高考中，對不等式的考查不是單一的，所以此類考題往往綜合性強(qiáng)，難度也較大，應(yīng)用極其廣泛，諸如求最值、比較大小、函數(shù)性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、有界性、最值)的研究、方程解的討論、曲線類型和兩曲線位置關(guān)系的判定等等．因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)強(qiáng)化理解不等式的應(yīng)用，注意多知識點(diǎn)的相互滲透．
1．在復(fù)習(xí)不等式的解法時(shí)，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練，以便快速、準(zhǔn)確求解．在解或證明含有參數(shù)不等式的過程中，一般要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，因此，還要加強(qiáng)分類討論思想的訓(xùn)練，做到分類合理、不重不漏．由于不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化，所以，強(qiáng)化函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練十分必要．
(四)高考對不等式的考查側(cè)重以下幾個(gè)方面：
1．不等式性質(zhì)的考查常與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查結(jié)合起來，一般多以選擇題的形式出現(xiàn)，有時(shí)與充要條件的知識聯(lián)系在一起．解答此類題目要求考生要有較好、較全面的基礎(chǔ)知識，一般難度不大．
2．高考試卷中，單純不等式的考題，一般是中檔難度題，內(nèi)容多涉及不等式的性質(zhì)和解法，以及重要不等式的應(yīng)用．解不等式的考題常以填空題和解答題的形式出現(xiàn)．在解答題中，含字母參數(shù)的不等式問題較多，需要對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論，這類考題多出現(xiàn)在文科試卷上．
3．證明不等式近年來逐漸淡化，但若考試卷中出現(xiàn)不等式證明，則往往不是單獨(dú)的純不等式證明，而是與函數(shù)、三角、解析幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識綜合考查，這時(shí)有可能是壓軸題或倒數(shù)第二題．此類考題區(qū)分度高，綜合性強(qiáng)，與同學(xué)們平時(shí)聯(lián)系的差距較大，考生要有較強(qiáng)的邏輯思維能力和較高的數(shù)學(xué)素質(zhì)才能取得較好的成績．這類考題往往是理科試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的題型．
4．應(yīng)用問題是近年數(shù)學(xué)高考命題的熱點(diǎn)，近些年高考試題帶動(dòng)了一大批“以實(shí)際問題為背景，以函數(shù)模型，以重要不等式為解題工具”的應(yīng)用題問世．解此類考題在合理地建立不等關(guān)系后，判別式、重要不等式是常用的解題工具．
5．含有絕對值的不等式經(jīng)常出現(xiàn)在高考試卷中，有關(guān)內(nèi)容在教材中安排較少，考生解此類問題大多感覺困難，這與平時(shí)練習(xí)量不足有關(guān)，對此應(yīng)有所加強(qiáng)．
6．解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化，解題思路是利用不等式的性質(zhì)及結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函數(shù)的最基本不等式，然后求解．在這里著重強(qiáng)調(diào)的是，解不等式是在不等式有意義的前提下求出滿足不等式的未知數(shù)取值的集合，在解無理不等式、對數(shù)不等式時(shí)，要注意其定義域．
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