若0＜x＜1，則x、

1

x

、x²的大小關(guān)系是（　　）

A． 1 x ＜x＜x2

B．x＜ 1 x ＜x2

C．x2＜x＜ 1 x

D． 1 x ＜x2＜x

（理）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及x₁、x₂∈D恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)g（x）=2x（x∈R），k(x)=

1

x

 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）若h（x）=px²（x∈R）是下凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)f（0）=0，f（m）=2m，記S_f=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值．

（理）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及x₁、x₂∈D恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）成立，則稱f（x）為定義在D上的下凸函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)g（x）=2x（x∈R），k(x)=

1

x

 (x＜0)是否為各自定義域上的下凸函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）若h（x）=px²（x∈R）是下凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）已知f（x）是R上的下凸函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)f（0）=0，f（m）=2m，記S_f=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求S_f的最大值．

（2009•大連二模）（I）已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，x∈(

1

4

，

1

2

)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)，且x₁＜x₂．
①求直線PQ的斜率k_PQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f（x）在[a，b]上有導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）
（II）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0．試運(yùn)用你在②中得到的結(jié)論證明：
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（1）x＜g（x）．