Question

已知在乘積1×2×3×…×N的尾部恰好有100個連續(xù)的“0”．N的最大值是

409

．

Answer 1

分析：因為10=2×5，尾部出現(xiàn)一個零，所乘的因數(shù)中就要有一個成對的“2”和“5”．因為所乘數(shù)為1至400中的連續(xù)自然數(shù)，因此，其中質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)遠遠多于質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)，這樣，要讓尾部恰好有100個連續(xù)的“0”，只需讓所乘的因數(shù)中有100個質(zhì)因數(shù)“5”．當N=400時，1，2，3，…．，400中共有5有倍數(shù)400÷5=80（個），其中25的倍數(shù)有400÷25=16（個），125的倍數(shù)有400÷125=3（個）．80+16+3=99；所以1×2×3×…×400中含有99個質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)多于99個．所以，1×2×3×…×400的尾部有99個連續(xù)的“0”．
現(xiàn)在還缺1個“0”，只要在400后面出現(xiàn)一個5（不是25、125…）的倍數(shù)．第一個出現(xiàn)的是405，而N必須最大，顯然這個N應該是409．

解答：解：根據(jù)題干分析可得：當N=400時，1，2，3，…．，400中共有5有倍數(shù)400÷5=80（個），其中25的倍數(shù)有400÷25=16（個），125的倍數(shù)有400÷125=3（個）．
80+16+3=99；
所以1×2×3×…×400中含有99個質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)多于99個．
所以，1×2×3×…×400的尾部有99個連續(xù)的“0”．
現(xiàn)在還缺1個“0”，只要在400后面出現(xiàn)一個5（不是25、125…）的倍數(shù)．
所以400以后，第一個出現(xiàn)的5的倍數(shù)是405，
而N必須最大，顯然這個N應該是409．
故答案為：409．

點評：解答此題的關鍵是根據(jù)質(zhì)因數(shù)2和5的個數(shù)成對特點，得出：只需讓所乘的因數(shù)中有100個質(zhì)因數(shù)“5”即可使積的末尾恰好有100個0，據(jù)此分析即可解答問題．