Question

一副雙色牌中，紅、黑兩種顏色各有12張牌，每種顏色的牌上分別寫著l，2，4，8，16，…，2048這12個數．小梁從中任意抽取一些牌，計算抽出的牌面上所有數的和．
（1）若算出的和為2008，則小梁最多可能抽取了多少張牌？
（2）若算出的和為183，則小梁共有多少種抽取牌的方法？
（3）如果小梁有3種抽牌的方法使得和為某個正整數n，求n的值．

Answer 1

考點：數字和問題

專題：計算問題（巧算速算）

分析：（1）和為2008最多抽取的牌數，那么抽取的數越小就越多張牌，總共24張牌，最多可抽取17張，（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，2046-2008=38，32+2+4=38
（2）這道題是一個組合問題．每種顏色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1張牌．根據二進制，不大于 183 的每一個自然數a都可以由某一種顏色的牌組合出來（不抽的話，是0），且組合方式唯一．某種顏色的牌抽取出來之后（和為 a），另一種顏色的牌的抽取方式和為（183-a）也就唯一確定了．所以，抽取的某種顏色的牌的和的取值方式，與抽取的方法數是一一對應的．0-183 共有 184個數值，所以共有184種抽取牌的方法．
（3）很顯然有3種抽牌使的和為2是有3種牌方法，抽1，1，紅2，黑2，則與這相對應的就是抽出牌以后剩下的和為2的數．據此解答．

解答： 解：（1）（1+2+4+8+16+32+64+128+256+512）×2=2046，共20張牌，
2046-2008=38，32+2+4=38，三張牌的和是38，則可抽取的張數是
20-3=17（張）
答：小梁最多能抽取17張牌．

（2）每種顏色的牌中，l、2、4、8、16…2048 都只有1張牌．根據二進制，不大于 183 的每一個自然數a都可以由某一種顏色的牌組合出來（不抽的話，是0），且組合方式唯一．某種顏色的牌抽取出來之后（和為 a），另一種顏色的牌的抽取方式和為（183-a）也就唯一確定了．所以，抽取的某種顏色的牌的和的取值方式，與抽取的方法數是一一對應的．0-183 共有 184個數值，所以共有184種抽取牌的方法．
答：小梁共有184種抽牌的方法．

（3）3種抽牌使的和為2是有3種牌方法，抽紅1黑1；紅2；黑2，則與這相對應的就是抽出牌以后剩下的和為2的數．
（1+2+4+8+16+32+64+428+256+512+1024+2048）×2-2
=4095×2-2
=8190-2
=8188
答：n是2或是8188．

點評：第一小題的關鍵是找出最接近2008的幾個最小數的和是多少，再去掉比2008多的牌數來進行解答，第二小題可根據二進制來進行解答，第三小題的關鍵是先求出抽三次和是正整數的數是2．