Question

三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的5倍，這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：合數(shù)與質(zhì)數(shù)

專題：數(shù)的整除

分析：設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)為a、b、c，三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于他們和的5倍，由此可得等式：abc=5（a+b+c）因?yàn)閍，b，c都是質(zhì)數(shù)，而右邊的乘積中有5，也是質(zhì)數(shù)，所以a，b，c中必有一個(gè)數(shù)是5，不妨設(shè)a=5，然后化簡此等式進(jìn)行分析驗(yàn)證即可．

解答： 解：設(shè)這三個(gè)質(zhì)數(shù)為a、b、c
可得等式：abc=5（a+b+c）
又5也是質(zhì)數(shù)，所以a，b，c中必有一個(gè)數(shù)是5
設(shè)a=5
即5bc=5（5+b+c）
bc=5+b+c，
①當(dāng)b、c中含有質(zhì)數(shù)2時(shí)，不妨令b=2
2c=5+2+c，解得c=7，符合題意．
②當(dāng)b、c中不含有質(zhì)數(shù)2，即b c都是奇數(shù)時(shí)，不妨令：
b=2M+1，c=2N+1，有：
（2M+1）（2N+1）=11+2M+1+2N+1
即4MN=12，MN=3
顯然只能是M=3、N=1
此時(shí)b=2×3+1=7，B=1×2+1=3，不符合題意．
綜上，這三個(gè)質(zhì)數(shù)可以是：2、5、7．
答：這三個(gè)質(zhì)數(shù)分別是2、5、7．

點(diǎn)評：首先根據(jù)題意明確這三個(gè)質(zhì)數(shù)之中必有一個(gè)是5，然后以此為突破口列出等式進(jìn)行分析是完成本題的關(guān)鍵．