Question

三個質數(shù)的乘積恰好等于它們和的5倍，這三個質數(shù)分別是多少？

Answer 1

考點：合數(shù)與質數(shù)

專題：數(shù)的整除

分析：設這三個質數(shù)為a、b、c，三個質數(shù)的乘積恰好等于他們和的5倍，由此可得等式：abc=5（a+b+c）因為a，b，c都是質數(shù)，而右邊的乘積中有5，也是質數(shù)，所以a，b，c中必有一個數(shù)是5，不妨設a=5，然后化簡此等式進行分析驗證即可．

解答： 解：設這三個質數(shù)為a、b、c
可得等式：abc=5（a+b+c）
又5也是質數(shù)，所以a，b，c中必有一個數(shù)是5
設a=5
即5bc=5（5+b+c）
bc=5+b+c，
①當b、c中含有質數(shù)2時，不妨令b=2
2c=5+2+c，解得c=7，符合題意．
②當b、c中不含有質數(shù)2，即b c都是奇數(shù)時，不妨令：
b=2M+1，c=2N+1，有：
（2M+1）（2N+1）=11+2M+1+2N+1
即4MN=12，MN=3
顯然只能是M=3、N=1
此時b=2×3+1=7，B=1×2+1=3，不符合題意．
綜上，這三個質數(shù)可以是：2、5、7．
答：這三個質數(shù)分別是2、5、7．

點評：首先根據(jù)題意明確這三個質數(shù)之中必有一個是5，然后以此為突破口列出等式進行分析是完成本題的關鍵．