Question

在平面內(nèi)，旋轉(zhuǎn)變換試指某一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動一：如圖①，在Rt△ABC中，D為斜邊AB上的一點，AD=2，BD=1，且四邊形DECF是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△DBF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DGE（如圖②所示），小明一眼就看到答案，請你寫出陰影部分的面積

1

．
活動二：如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，小明仍運用圖形旋轉(zhuǎn)的方法，將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG（如圖④所示），則：
（1）四邊形AECG是怎樣的特殊四邊形？答：

正方形

；
（2）AE的長是

4

．
活動三：如圖⑤，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，將BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，連接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DBF≌△DGE，則DG=BD=1，那么陰影部分的面積=Rt△ADG的面積=

1

2

×AD×DG；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABE≌△ADG，得出∠AEB=∠G=90°，BE=DG，AE=AD．在四邊形AECD中，有∠AEC=∠C=∠G=90°，則四邊形AECD是矩形，又AE=AD，則矩形AECD是正方形；設(shè)BE=x，則DG=x，EC=CG=DG+CD=x+3，BC=BE+EC=x+x+3=5，求出x，進而得出AE的長；
（3）過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F，通過證明△BCG≌△BEF，從而得出S_△ABE的值．

解答：解：活動一：
因為四邊形DECF是正方形，
所以DE=DF=x，DE∥BC，DF∥AC，
所以

AD

AB

=

DE

BC

，

DF

AC

=

BD

AB

，
因為AD=2，BD=1，
所以AC=3x，BC=

3

2

x，
因為AC²+BC²=AB²，
所以9x²+（

3

2

x）²=9，
解得：x=

2 5

5

，
所以DE=DF=

2 5

5

，AE=

4

5

5

，BF=

5

5

，
所以S_△ADE+S_△BDF=1，
所以S_陰影=1；
故答案為：1；

活動二：根據(jù)題意得：∠EAG=90°，
因為AE⊥BC，
所以∠AEB=∠AEC=∠G=90°，
所以四邊形AECG是矩形，
因為AE=AG，
所以四邊形AECG是正方形，
因為BC=5，CD=3，
所以設(shè)AE=x，則BE=GD=CG-CD=x-3，
BE=BC-EC=5-x，
所以x-3=5-x，
解得：x=4，
所以AE=4．
故答案為：正方形；4．

活動三：過點B作BG⊥DC于點G，過點E作EF⊥AB與AB的延長線交于點F．
因為∠BAD=∠D=∠DGB=90°，
所以四邊形ABGD是矩形，
所以DG=AB=2，
所以CG=DC-DG=4-2=2．
因為∠CBG+∠CBF=90°，∠EBF+∠CBF=90°，
所以∠CBG=∠EBF．
在△BCG與△BEF中，∠CBG=∠EBF，∠CGB=∠EFB=90°，BC=BE，
所以△BCG≌△BEF，
所以CG=EF=2．
所以S_△ABE=

1

2

AB?EF=2．

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)．在解題中進行旋轉(zhuǎn)變換的目的在于通過旋轉(zhuǎn)變換可以使圖形發(fā)生重組，使分散的條件得以集中，然后運用旋轉(zhuǎn)的“不變性”可以使一些問題迎刃而解．一般來說，當圖形中有“共點等邊”的圖形時，常進行旋轉(zhuǎn)變換．