Question

已知B與P是大于1的自然數(shù)，且P+2B，P+4B，P+6B，P+8B，P+10B都是質(zhì)數(shù)，求P+B的最小值．

Answer 1

考點：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：的關(guān)鍵是根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、自然數(shù)的意義確定B、P最小是多少，只有p、B最小，P+B的最值最�。�

解答： 解：首先，b的取值
可以分這幾種情況來討論：
（1）設(shè)b是除以5余1的自然數(shù)．這樣的話，b可以看成是5k+1，那上面5個數(shù)的差2b則為10k+2．這時，分情況討論：
①設(shè)p+2b除以5余1，則p+4b除以5余3，p+6b除以5余5，同志們注意，這就不是質(zhì)數(shù)了
②設(shè)p+2b除以5余3，則p+4b除以5余5，不是質(zhì)數(shù)
③設(shè)p+2b除以5余7，則p+4b除以5余9，p+6b除以5余1，p+8b除以5余3，p+10b除以5不是質(zhì)數(shù)
④設(shè)p+2b除以5余9，則p+4b除以5余1，p+6b除以5余3，p+8b不是質(zhì)數(shù)
（2）設(shè)b是除以5余2的自然數(shù)，則上述5個數(shù)之間差為10k+4，分情況討論：
①設(shè)p+2b除以5余1，則…p+4b不是質(zhì)數(shù)
②設(shè)p+2b除以5余3，則p+8b不是質(zhì)數(shù)
③設(shè)p+2b除以5余7，則p+6b不是質(zhì)數(shù)
④設(shè)p+2b除以5余9，則p+10b不是質(zhì)數(shù)
（3）設(shè)b為除以5余3或4的自然數(shù)都可以列出p+kb（k屬于{4，6，8，10}）不是質(zhì)數(shù)
（4）設(shè)b為除以5余0的自然數(shù)，則…分情況討論
①b除以3余1或余2，則p+2b，p+4b，p+6b中有一個能被3整除，就不是質(zhì)數(shù)
①b除以3余0，則b為15的倍數(shù)，所以b最小值為15．
其次就是p了，p肯定為奇數(shù)，不然這五個數(shù)都不是質(zhì)數(shù)了．
而p＞1，所以p是3，5，7，9，…中的一個．
p不能取3和5，如果取這2個的話，那這5個數(shù)中就會有一個被3或5整除．
所以，p的最小值為7．

點評：此題比較麻煩，的關(guān)鍵是根據(jù)質(zhì)數(shù)、合數(shù)、自然數(shù)的意義確定B、P最小是多少．