Question

拓展訓(xùn)練
三角形ABC內(nèi)部有1999個(gè)點(diǎn)，以頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)能把原三角形分割成多少個(gè)小三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：組合圖形的計(jì)數(shù)

專題：幾何的計(jì)算與計(jì)數(shù)專題

分析：因?yàn)榇祟}點(diǎn)數(shù)較多，這就要求我們尋找規(guī)律，可以通過分情況：（1）若點(diǎn)P_n在某個(gè)小三角形的內(nèi)部，如圖1-73（a），（2）若點(diǎn)P_n在某兩個(gè)小三角形公共邊上，如圖1-73（b）．來尋找規(guī)律求解．

解答： 解：設(shè)△ABC內(nèi)部的n-1個(gè)點(diǎn)能把原三角形分割成a_n-1個(gè)小三角形，我們考慮新增加一個(gè)點(diǎn)P_n之后的情況：
（1）若點(diǎn)P_n在某個(gè)小三角形的內(nèi)部，如圖（a），則原小三角形的三個(gè)頂點(diǎn)連同P_n將這個(gè)小三角形一分為三，即增加了兩個(gè)小三角形；
（2）若點(diǎn)P_n在某兩個(gè)小三角形公共邊上，如圖（b）．則這兩個(gè)小三角形的頂點(diǎn)連同點(diǎn)P_n將這兩個(gè)小三角形分別一分為二，即也增加了兩個(gè)小三角形．
所以，△ABC內(nèi)部的n個(gè)點(diǎn)把原三角形分割成的小三角形個(gè)數(shù)為a_n=a_n-1+2．
易知a₀=1，于是a₁=a₀+2 a₂=a₁+2 …a_n=a_n-1+2
將上面這些式子相加，得a_n=2n+1．
所以，當(dāng)n=1999時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C和這1999個(gè)內(nèi)點(diǎn)能把原三角形分割成2×（1999+1=3999個(gè)小三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的認(rèn)識(shí)，按正確的順序計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．