Question

小明從一樓到二樓，一共8級(jí)臺(tái)階，他每次最多跨三級(jí)，那么他從一樓到二樓，一共有

 

種走法．

Answer 1

考點(diǎn)：排列組合

專(zhuān)題：植樹(shù)問(wèn)題

分析：分別求出n=1、2、3、4…時(shí)的不同走法，找出規(guī)律，求出當(dāng)n=8時(shí)的走法即可．

解答： 解：遞推：
如果用n表示臺(tái)階的級(jí)數(shù)，a n表示某人走到第n級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，容易得到：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然只要1種跨法，即a 1=1．
②當(dāng)n=2時(shí)，可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨二級(jí)上樓，因此，共有2種不同的跨法，即a₂=2．
③當(dāng)n=3時(shí)，可以一步一級(jí)跨，也可以一步三級(jí)跨，還可以第一步跨一級(jí)，第二步跨二級(jí)或第一步跨二級(jí)，第二步跨一級(jí)上樓，因此，共有4種不同的跨法，即a₃=4．
④當(dāng)n=4時(shí)，分三種情況分別討論：
如果第一步跨一級(jí)臺(tái)階，那么還剩下三級(jí)臺(tái)階，由③可知有a₃=4（種）跨法．
如果第一步跨二級(jí)臺(tái)階，那么還剩下二級(jí)臺(tái)階，由②可知有a₂=2（種）跨法．
如果第一步跨三級(jí)臺(tái)階，那么還剩下一級(jí)臺(tái)階，由①可知有a₁=1（種）跨法．
根據(jù)加法原理，即a₄=a₁+a₂+a₃=7種
所以登上第5級(jí)：4₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13種
登上第6級(jí)：4+7+13=24種
登上第7級(jí)：7+13+24=44種
登上第8級(jí)：13+24+44=81種
共有：1+2+4+7+13+24+44+81=176（種）
答：一共有176種不同的登樓方法．
故答案為：176．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查加法原理和乘法原理，關(guān)鍵是從簡(jiǎn)單入手，找出登上n級(jí)臺(tái)階的邁法．