Question

對(duì)于三個(gè)不同的自然數(shù)a、b、c，證明：a、b、c、ab、ac、bc、abc這7個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問(wèn)題

分析：把這7個(gè)數(shù)分別除以7，其余數(shù)不外乎是0，1，2，3，4，5，6，進(jìn)一步根據(jù)余數(shù)情況探討得出答案即可．

解答： 解：一個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)為0，1，2，3，4，5，6，
如果三個(gè)自然數(shù)中，有一個(gè)能被7整除，不妨設(shè)a，則必定ab、ac、abc能被7整除，則必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．
如果三個(gè)自然數(shù)中，都不能被7整除，則這7個(gè)數(shù)中，余數(shù)會(huì)出現(xiàn)1，2，3，4，5，6這六種情況，一定會(huì)出現(xiàn)余數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)，則必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．
綜上所知，三個(gè)不同的自然數(shù)a、b、c，在a、b、c、ab、ac、bc、abc這7個(gè)數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查數(shù)的整除的運(yùn)用，注意利用余數(shù)的情況，分析探討得出答案即可．