Question

用455個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體粘成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，若拆下沿梭的小正方體，則尚余下371個(gè)小正方體，問(wèn)所粘成的大長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)各是多少？拆下沿棱的小正方體后的多面體（如圖）的表面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：圖形的拆拼（切拼）

專題：立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：（1）①設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x、y、z無(wú)仿設(shè)x≥z≥y，它們只能取正整數(shù)．長(zhǎng)方體的體積是455，則有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；②沿棱拆下的小正方體有455-371=84個(gè)，若認(rèn)為從“長(zhǎng)”邊拆下的小正方體為（x-1）個(gè)，則從每個(gè)“寬”邊拆下的小正方體為（y-1）個(gè)，而從每個(gè)“高”邊拆下的小正方體為（z-2）個(gè)，應(yīng)當(dāng)有下面關(guān)系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，剪出求出x、y、z的正整數(shù)解即可解答問(wèn)題；
（2）如圖，拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積由兩部分組成：
第一部分是突出在外面的6個(gè)平面，總面積是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24個(gè)寬都是1的長(zhǎng)條，總面積是：8×（11+3+5）=152．把這兩部分面積加起來(lái)即可解答．

解答： 解：（1）①設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x、y、z無(wú)仿設(shè)x≥z≥y，它們只能取正整數(shù)．長(zhǎng)方體的體積是455，則有x×y×z=455，分解455=5×7×13，即：x×y×z=5×7×13；
②沿棱拆下的小正方體有455-371=84個(gè)，若認(rèn)為從“長(zhǎng)”邊拆下的小正方體為（x-1）個(gè)，則從每個(gè)“寬”邊拆下的小正方體為（y-1）個(gè)，而從每個(gè)“高”邊拆下的小正方體為（z-2）個(gè)，應(yīng)當(dāng)有下面關(guān)系式：4×（x-1+y-1+z-2）=84，x+y+z=25，．
既然x，y，z只取正整數(shù)，驗(yàn)證x=13，z=7，y=5是唯一解．
答：所粘成的大長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別是13、7、5．

（2）第一部分是突出在外面的6個(gè)平面，總面積是：2×（11×5+11×3+5×3）=206．
第二部分是24個(gè)寬都是1的長(zhǎng)條，總面積是：8×（11+3+5）=152．
206+152=358
答：這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是358．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高的值，求它的表面積時(shí)，也可以這樣思考：拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積和原長(zhǎng)方體表面積去掉8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體的三個(gè)側(cè)面的面積相同（想像一下為什么）．所以，2×（13×7+13×5+7×5）-3×8=358．