Question

對于155個裝有紅、黃、藍三種顏色球的盒子，有三種分類方法：對于每種顏色，將該顏色的球數(shù)目相同的盒子歸為一類．若從1到30之間所有的自然數(shù)都是某種分類中一類的盒子數(shù)，那么，
（ 1）三種分類的類數(shù)之和是多少？
（ 2）說明，可以找到三個盒子，其中至少有兩種顏色的球，它們的數(shù)目分別相同．

Answer 1

考點：數(shù)字和問題,數(shù)字分組

專題：數(shù)性的判斷專題

分析：根據(jù)題意，可得a₁，a₂，a₃，…，a_i；b₁，b₂，b₃，…，b_j；c₁，c₂，c₃，…，c_k，包含了1到30的所有整數(shù)，所以n≥30，另一方面，3×155=a₁+a₂+a₃+…+a_i+b₁+b₂+b₃+…+b_j+c₁+c₂+c₃+…+c_k≥1+2+3+…+30=

30×31

2

=465=3×155．故三種分類的類數(shù)之和是30．進而論證得出答案．

解答： 解：（1）因為 a₁，a₂，a₃，…，a_i；b₁，b₂，b₃，…，b_j；c₁，c₂，c₃，…，c_k包含了1到30的所有整數(shù)，所以n≥30，另一方面，
3×155=a₁+a₂+a₃+…+a_i+b₁+b₂+b₃+…+b_j+c₁+c₂+c₃+…+c_k≥1+2+3+…+30=

30×31

2

=465=3×155．
所以n=i+j+k=30，三種分類的類數(shù)之和是30．
（2）不妨設a₁=30，記這30個盒子的類為A類．因為i+j+k=30，必有j≤14或k≤14，不妨設j≤14．A類的30個盒子分到這不超過14個類中去，必有一類至少有三個盒子，這三個盒子里的紅球數(shù)相同并且黃球數(shù)也相同．

點評：此題也可這樣解答：
（1）第一問：現(xiàn)在我們來看原題，共有155個盒子，而每一種分類的個數(shù)正好占據(jù)了1至30中的每一個自然數(shù)，我們先看看各種分類情況中球個數(shù)沒有重復的情況，這時正好使用了個盒子，這里465正好是155的3倍，說明不可能出現(xiàn)分類情況中球個數(shù)重復的情況，即1至30每個數(shù)只出現(xiàn)1次，故分類的類數(shù)應該與1至30中自然數(shù)個數(shù)相同，故分為30類；
（2）第二問：首先理解問題，至少能找到3個盒子，它們中的兩種顏色比如紅和藍的個數(shù)都相同，例如盒子一有2紅2黃3藍，盒子二有2紅3黃3藍，盒子三有2紅7黃3藍，由于三個盒子中紅色和藍色球數(shù)相同，故這三個盒子即為滿足的題意的三個盒子；接下來我們來試圖說明題目所要證明的結論，首先我們可以知道一定有某種分類方式，有30個盒子屬于這種分類，不妨將其設為a顏色中的某種分類（即這30個盒子中a顏色球的個數(shù)相同）．現(xiàn)在我們的思路是在這30個盒子中再找到3個第二種顏色球個數(shù)相同的盒子．除去以上說的1種分類外，還剩下29種分類，可以得出剩下兩種顏色中必有一種顏色的分類種數(shù)少于15種，否則總分類種數(shù)會超過30種，而與第一問結論矛盾．不妨設b顏色的分類種數(shù)少于15種，最多14種，那么我們可以看到，在前面提到的a顏色中的某種分類里，有30個盒子中a顏色球個數(shù)相同，而這30個盒子中b顏色的個數(shù)種類只有14種，根據(jù)抽屜原理，說明至少有3個盒子中b顏色球的個數(shù)相同，則這3個盒子中a顏色球的個數(shù)相同，b顏色球的個數(shù)也相同，即說明題目結論成立．