Question

（1）任給4個(gè)自然數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明：一定有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)；
（2）至少取幾個(gè)數(shù)，才能保證一定有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：抽屜原理

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：（1）如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù)．這4個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以3的余數(shù)相同．可以把所有自然數(shù)按被3除所得的3種不同的余數(shù)0、1、2，分成3類．也就是3個(gè)抽屜．任取4個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以3的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是3的倍數(shù)．
（2）因?yàn)橛鄶?shù)相同的兩數(shù)之差一定能被除數(shù)整除，此題可以先找出除以7的余數(shù)的所有情況分別為：0、1、2、3、4、5、6，這樣就可以把它們看做7個(gè)抽屜，利用抽屜原理即可解決問(wèn)題．

解答： 解：（1）如果兩個(gè)整數(shù)a、b，它們除以自然數(shù)m的余數(shù)相同，那么它們的差a-b是m的倍數(shù)．根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，這4個(gè)自然數(shù)中有2個(gè)自然數(shù)，它們除以3的余數(shù)相同．
把所有自然數(shù)按被3除所得的3種不同的余數(shù)0、1、2分成3類．也就是3個(gè)抽屜．
任取4個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中，也就是它們除以3的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是3的倍數(shù)．
故任取4個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)．
（2）自然數(shù)除以7的余數(shù)為：0、1、2、3、4、5、6，因此7就把自然數(shù)分成了7類，
即：除以7余0、1、2、3、4、5、6，因此，可以把它看成是7個(gè)抽屜，
至少要有8個(gè)數(shù)，才能必然有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)相同，也就是差是7的倍數(shù)，
答：根據(jù)上述分析，至少有8個(gè)數(shù)，就能保證其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差是7的倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題是考查了抽屜原理在實(shí)際問(wèn)題中的靈活應(yīng)用，利用“余數(shù)相同的兩數(shù)之差一定能被除數(shù)整除”這個(gè)性質(zhì)即可解決問(wèn)題．