Question

【題目】閱讀材料，并解決問題：

我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾居世界前列，“楊輝三角”就是其中一例．如圖是“楊輝三角”的一部分，其構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，“楊輝三角”給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開式中的系數(shù)．

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出的展開式共有_______項(xiàng)；

（2）直接寫出的展開式；

（3）利用上面的規(guī)律計(jì)算：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1

【解析】

(1)根據(jù)規(guī)律能得出(a+b)1，(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的值，即可推出結(jié)論；
(2)根據(jù)規(guī)律即可推出(a+b)5的展開式；

(3)根據(jù)(a+b)5的逆運(yùn)算即可得到(2-1)5=1．

(1)∵(a+b)1=a+b，共有2項(xiàng)；
(a+b)2=a2+2ab+b2，共有3項(xiàng)；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，共有4項(xiàng)；
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，共有5項(xiàng)；

，

∴，共有2020項(xiàng)；

故答案為：2020；
(2)根據(jù)(1)的規(guī)律，

∴(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
故答案為：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

(3)∵(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，

當(dāng)a=2，b=-1時(shí)，(2-1)5=25-5×24+10×23-10×22+5×2-1，

∴25-5×24+10×23-10×22+5×2-1=(2-1)5=15=1，
故答案為：1．