Question

如圖，兩個(gè)同心圓的圓心為O，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)在大圓上，六條邊分別與小圓相切，大圓的半徑OA、OB分別與小圓相交于點(diǎn)G、H，正六邊形的邊長(zhǎng)為2a．
（1）求

AB

與

GH

的弧長(zhǎng)之差；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正多邊形和圓

專(zhuān)題：

分析：（1）利用正六邊形的特殊性可得出BO=2a，再利用等邊三角形的性質(zhì)求出NO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用陰影部分的面積為：S_扇形OAB-S_△AOB，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，
∵正六邊形的邊長(zhǎng)為2a，
∴BN=AN=a，
由題意可得：∠AOB=60°，BO=2a，則∠BON=30°，
故NO=BO•cos30°=

3

a，

AB

=

60π×2a

180

=

2πa

3

，

GH

=

60×π× 3 a

180

=

3 πa

3

，
故

AB

與

GH

的弧長(zhǎng)之差為：

2πa

3

-

3 πa

3

=

(2- 3 )πa

3

；

（2）∵S_△AOB=

1

2

×NO×AB=

3

a²，
S_扇形OAB=

60π×(2a)2

360

=

2πa2

3

∴陰影部分的面積為：S_扇形OAB-S_△AOB=

2πa2

3

-

3

a²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)題意得出BO、NO的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．