Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3過(guò)等腰Rt△BOC的兩頂點(diǎn)B、C，且與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，求BN的長(zhǎng)度；

（3）P為線(xiàn)段BC上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P到直線(xiàn)BC的距離是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值的大小以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）3或（3）

【解析】

（1）令x=0，可得y=3，可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），即可利用待定系數(shù)法求得該拋物線(xiàn)的解析式．

（2）已知了B、C的坐標(biāo)，易求得BC的長(zhǎng)和直線(xiàn)BC的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得BM的長(zhǎng)，可設(shè)出點(diǎn)BN=x，若以M，N，B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，由于∠CBA=∠MBN，則有兩種情況需要考慮：①△MBN∽△CBA，②△MBN∽△ABC；根據(jù)上述兩種情況所得不同的比例線(xiàn)段即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出BN的長(zhǎng)．

（3）可設(shè)經(jīng)過(guò)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)解析式為y=﹣x+n，聯(lián)立方程y=﹣x2+2x+3，根據(jù)判別式為0得到n，從而得到經(jīng)過(guò)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)解析式，進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)BC垂直的直線(xiàn)解析式，聯(lián)立直線(xiàn)BC的解析式得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．

（1）令x=0，則y=3，∴C（0，3），∴OC=3．

又∵Rt△BOC是等腰直角三角形，∴B（3，0），將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：，解得，∴y=﹣x2+2x+3．

（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=﹣=1，由B（3，0），C（0，3），得直線(xiàn)BC解析式為：y=﹣x+3；

∵對(duì)稱(chēng)軸x=1與直線(xiàn)BC：y=﹣x+3相交于點(diǎn)M，∴M為（1，2）；

可設(shè)BN的長(zhǎng)為x．

當(dāng)△MNB∽△ACB時(shí)，∴=，即=，解得：x=3；

當(dāng)△MNB∽△CAB時(shí)，∴==，解得：x=，所以BN的長(zhǎng)為3或．

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)解析式為y=﹣x+n，聯(lián)立得：，﹣x+n=﹣x2+2x+3，x2﹣3x+n﹣3=0，△=9﹣4（n﹣3）=0，解得：n=，∴P到直線(xiàn)BC的距離存在最大值時(shí)，經(jīng)過(guò)P與直線(xiàn)BC平行的直線(xiàn)解析式為y=﹣x+，則x2﹣3x+=0，解得：x=，y=﹣+=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（），則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)BC垂直的直線(xiàn)解析式為y=x+t，則=+t，解得：t=，故經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與直線(xiàn)BC垂直的直線(xiàn)解析式為y=x+，聯(lián)立可得，解得：，則P到直線(xiàn)BC的距離最大值為=．