Question

閱讀下面材料：對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋．回答下列問題：
（1）邊長為1cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

 cm；
（2）邊長為1cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

 cm．

Answer 1

考點：三角形的外接圓與外心

專題：計算題

分析：（1）邊長為1cm的正方形ABCD被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值為其外接圓的半徑，如圖1，根據圓周角定理得AC為直徑，則AC=

2

AB=

2

，于是得到r的最小值是

2

2

cm；
（2）邊長為1cm的等邊三角形ABC被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值為其外接圓的半徑，如圖2，連結OB，作OD⊥BC于D，根據等邊三角形的性質得OB平分∠ABC，則∠OBD=30°，再利用垂徑定理由OD⊥BC得到BD=

1

2

BC=

1

2

，接著利用余弦的定義可計算出OB=

3

3

，于是得到r的最小值是

3

3

cm．

解答：解：（1）正方形ABCD的邊長為1cm，則正方形ABCD被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值為其外接圓的半徑，如圖1，正方形ABCD的外接圓為⊙0，
∵∠B=90°，
∴AC為直徑，
∴AC=

2

AB=

2

，
∴OA=

2

2

，
∴r的最小值是

2

2

cm；
（2）邊長為1cm的等邊三角形ABC被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值為其外接圓的半徑，如圖2，等邊三角形ABC的外接圓為⊙0，
連結OB，作OD⊥BC于D，
∵點O為等邊三角形ABC的外心，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

，
在Rt△BOD中，∵cos∠OBD=

BD

OB

，
∴OB=

1 2

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

，
∴r的最小值是

3

3

cm．
故答案為

2

2

；

3

3

．

點評：本題考查了三角形的外接圓與外心：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了正方形與等邊三角形的性質．