Question

4．如圖，線段AB=8，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，四邊形ADEP為長方形，且AD=2，AP=1，將長方形ADEP沿射線AB方向平移得到長方形A′D′E′P′．
（1）直接寫出線段AC的長．
（2）當(dāng)以A′、P′、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，求所有符合條件的平移距離x的值．
（3）若點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于A′P′成軸對稱，當(dāng)點(diǎn)C′落在線段A′D′上時（見圖②），請直接寫出平移距離x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由線段中點(diǎn)的定義得出AC=$\frac{1}{2}$AB=4即可；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠P′A′C=90°，A′C=A′P′=AP=1，當(dāng)點(diǎn)A′在點(diǎn)C的左側(cè)時，x=AA′=3；當(dāng)點(diǎn)A′在點(diǎn)C的右側(cè)時，x=AA′=5；即可得出結(jié)果；
（3）由軸對稱的性質(zhì)得出A′C′=A′C，當(dāng)x=4時，A′與C重合；當(dāng)x=6時，C′與D′重合，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵線段AB=8，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4；
（2）∵A′、P′、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，∠P′A′C=90°，
∴A′C=A′P′=AP=1，
當(dāng)點(diǎn)A′在點(diǎn)C的左側(cè)時，x=AA′=4-1=3；
當(dāng)點(diǎn)A′在點(diǎn)C的右側(cè)時，x=AA′=4+1=5；
綜上所述：當(dāng)以A′、P′、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，平移距離x的值為3或5．
（3）∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于A′P′成軸對，
∴A′C′=A′C，
當(dāng)x=4時，A′與C重合；
當(dāng)x=6時，C′與D′重合，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于A′P′成軸對稱，當(dāng)點(diǎn)C′落在線段A′D′上時，平移距離x的取值范圍為4≤x≤6．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．