Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，AC=AD，DE⊥CD交BC于點E，AF平分∠BAC交BC于F點．
（1）求證：AF∥DE；
（2）當(dāng)AC=6，AB=10時，求BE的長．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到AF⊥CD，再結(jié)合已知條件DE⊥CD可以證得結(jié)論；
（2）利用（1）中的結(jié)論推知GF是△CDE的中位線，利用三角形中位線定理、平行線分線段成比例以及圖中相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系來求BE的長度．

解答：（1）證明：如圖，∵AC=AD，AF平分∠BAC，
∴AF⊥CD，
又∵DE⊥CD，
∴AF∥DE；

（2）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=AD=6，
∴根據(jù)勾股定理求得BC=

AB2-AC2

=8．
又∵AF垂直平分DC，AF∥DE，
∴GF是△CDE的中位線，

BD

BA

=

BE

BF

=

10-6

10

=

2

5

，
∴CF=EF=（BC-BE）÷2=（8-BE）÷2=4-

BE

2

，
∴BE=

2(BE+EF)

5

∴BE=2．

點評：本題考查了三角形中位線定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理．三角形中位線的定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．